Determine uma base e a dimensão para o Núcleo e para a Imagem da transformação linear que satisfaz e .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear , ou seja, ela pega vetores de 3 dimensões e os transforma em polinômios de grau no máximo 2. Queremos encontrar uma base e a dimensão para o Núcleo (também chamado de Kernel) e para a Imagem (ou Imagem) dessa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, sistemas lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são o Núcleo e a Imagem de uma transformação linear:
Núcleo (Kernel): Conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em , ou seja, .
Imagem (Image): Conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a transformação a algum vetor em .
Passo 3
Vamos representar a transformação linear como uma matriz. Sabemos que cada vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores base , e . As imagens desses vetores são dadas pela questão:
Podemos escrever esses polinômios como vetores em , considerando os coeficientes de , e :
Então, a matriz representativa de será:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o Núcleo de . Isso significa resolver o sistema homogêneo , onde .
Escrevendo o sistema:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema usando o método de escalonamento. Primeiro, vamos montar a matriz aumentada:
Primeiro, usemos a primeira linha para eliminar o das outras linhas.
Linha 2:
Linha 3:
Agora, a matriz fica assim:
Passo 6
Continuando o escalonamento, vamos usar a segunda linha para eliminar o da terceira linha.
Primeiro, vamos simplificar a segunda linha dividindo por 7:
Agora, usemos a segunda linha para eliminar o da terceira linha:
A matriz agora fica:
Passo 7
Com o sistema escalonado, podemos escrever as equações de volta:
Da segunda equação, temos . Vamos chamar , onde é um parâmetro livre.
Substituindo na primeira equação:
Então, as soluções do sistema são:
Podemos escrever o vetor solução como:
Passo 8
Então, o Núcleo de é o conjunto de todos os múltiplos do vetor . Isso significa que uma base para o Núcleo é:
E a dimensão do Núcleo é 1, já que há apenas um vetor na base.
Passo 9
Agora, vamos encontrar a Imagem de . A Imagem é gerada pelas imagens dos vetores da base de , que são os polinômios dados:
Para encontrar uma base para a Imagem, precisamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes. Vamos colocar os coeficientes em forma de matriz e verificar o posto.
Escrevendo os coeficientes:
Já vimos essa matriz no Passo 3. Como a matriz escalonada tem posto 2 (duas linhas não nulas), a Imagem tem dimensão 2. Portanto, precisamos de dois polinômios que sejam linearmente independentes.
Podemos escolher os dois primeiros polinômios:
Passo 10
Finalmente, resumindo:
Núcleo de :
Base:
Dimensão: 1
Imagem de :
Base:
Dimensão: 2
Resposta
A base do Núcleo de é com dimensão 1, e a base da Imagem de é com dimensão 2.