Determine uma base e a dimensão para o Núcleo e para a Imagem da transformação linear que satisfaz e .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear , ou seja, ela pega vetores de 3 dimensões e os transforma em polinômios de grau no máximo 2. Queremos encontrar uma base e a dimensão para o Núcleo (também chamado de Kernel) e para a Imagem (ou Imagem) dessa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, sistemas lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são o Núcleo e a Imagem de uma transformação linear:
Núcleo (Kernel): Conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em , ou seja, .
Imagem (Image): Conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a transformação a algum vetor em .
Passo 3
Vamos representar a transformação linear como uma matriz. Sabemos que cada vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores base , e . As imagens desses vetores são dadas pela questão:
Podemos escrever esses polinômios como vetores em , considerando os coeficientes de , e :
Então, a matriz representativa de será:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o Núcleo de v1 v2 v3. Isso significa resolver o sistema homogêneo 1v1 + 4v2 + 6v3 = 0 -2v1 - v2 -5v3 = 0 1v1 - v2 + 1v3 = 0 , onde .
Escrevendo o sistema:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema usando o método de escalonamento. Primeiro, vamos montar a matriz aumentada:
Continuando o escalonamento, vamos usar a segunda linha para eliminar o Linha 2 div 7 Rightarrow 0 1 1 | 0 da terceira linha.
Primeiro, vamos simplificar a segunda linha dividindo por 7:
Linha 3 + 5 times Linha 2 Rightarrow 0 (-5 + 5(1)) = 0, (-5 + 5(1)) = 0, 0 + 5(0) = 0
Agora, usemos a segunda linha para eliminar o 1 & 4 & 6 & | & 0 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0 da terceira linha:
A matriz agora fica:
Passo 7
Com o sistema escalonado, podemos escrever as equações de volta:
v1 + 4v2 + 6v3 = 0 v2 + v3 = 0 0 = 0
Da segunda equação, temos v1 + 4(-t) + 6t = 0 Rightarrow v1 -4t +6t = 0 Rightarrow v1 +2t = 0 Rightarrow v1 = -2t . Vamos chamar v1 = -2t, v2 = -t, v3 = t , onde v = t -2 -1 1 é um parâmetro livre.
Substituindo na primeira equação:
Então, as soluções do sistema são:
Podemos escrever o vetor solução como:
Passo 8
Então, o Núcleo de -2 -1 1 é o conjunto de todos os múltiplos do vetor -2 -1 1 . Isso significa que uma base para o Núcleo é:
E a dimensão do Núcleo é 1, já que há apenas um vetor na base.
Passo 9
Agora, vamos encontrar a Imagem de T(1,0,-1) = 1 - 2x + x^2 . A Imagem é gerada pelas imagens dos vetores da base de T(0,1,-1) = 4 - x - x^2 , que são os polinômios dados:
T(-1,2,-2) = 6 -5x + x^2
1 & 4 & 6 -2 & -1 & -5 1 & -1 & 1
1 - 2x + x^2, 4 - x - x^2
Para encontrar uma base para a Imagem, precisamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes. Vamos colocar os coeficientes em forma de matriz e verificar o posto.
Escrevendo os coeficientes:
Já vimos essa matriz no Passo 3. Como a matriz escalonada tem posto 2 (duas linhas não nulas), a Imagem tem dimensão 2. Portanto, precisamos de dois polinômios que sejam linearmente independentes.
Podemos escolher os dois primeiros polinômios:
Passo 10
Finalmente, resumindo:
Núcleo de -2 -1 1 :
Base:
Dimensão: 1
Imagem de :
Base:
Dimensão: 2
Resposta
A base do Núcleo de -2 -1 1 é com dimensão 1, e a base da Imagem de é com dimensão 2.