Sejam u=(1,1,1)C e v=(1, ldots, 1)C
(b) Encontre um vetor w para que B=u, v, w seja uma base ortogonal positiva de R^3 (Observação: Uma base em R^3 é positiva se satisfaz a regra da mão direita, ou seja, seu produto misto deve ser positivo).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um vetor w tal que o conjunto B=u, v, w forme uma base ortogonal positiva de R^3. Isso envolve entender conceitos de bases, ortogonalidade e orientação positiva no espaço tridimensional. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como vetores, produtos internos e produto misto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base ortogonal positiva. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que “preenchem” o espaço, ou seja, qualquer vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Uma base é ortogonal se todos os vetores são perpendiculares entre si, ou seja, o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero.

Passo 3

Além disso, a base ser “positiva” significa que ela segue a regra da mão direita. Isso quer dizer que o produto misto (ou produto escalar triplo) dos três vetores deve ser positivo. O produto misto de u, v e w é calculado como u cdot (v times w) e deve ser maior que zero.

Passo 4

Agora, temos os vetores u = (1, 1, 1) e v = (1, 1, 1). Mas, se u e v são iguais, eles não são linearmente independentes, o que impede que formem uma base. Então, vamos assumir que houve um erro de digitação e que v é diferente de u. Suponhamos que v = (1, -1, 0) para prosseguir.

Passo 5

Para tornar a base ortogonal, precisamos que w seja perpendicular a ambos u e v. Podemos encontrar w usando o produto vetorial entre u e v:
w = u times v
Vamos calcular:
w = i & j & k 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 = i(1 cdot 0 - 1 cdot (-1)) - j(1 cdot 0 - 1 cdot 1) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 1)
Simplificando:
w = i(0 + 1) - j(0 - 1) + k(-1 - 1) = i(1) - j(-1) + k(-2) = (1, 1, -2)

Passo 6

Agora, temos a base B = u, v, w = (1, 1, 1), (1, -1, 0), (1, 1, -2). Vamos verificar se essa base é ortogonal:
Calculando os produtos internos:
u cdot v = 1 cdot 1 + 1 cdot (-1) + 1 cdot 0 = 1 - 1 + 0 = 0
u cdot w = 1 cdot 1 + 1 cdot 1 + 1 cdot (-2) = 1 + 1 - 2 = 0
v cdot w = 1 cdot 1 + (-1) cdot 1 + 0 cdot (-2) = 1 - 1 + 0 = 0
Todos os produtos internos são zero, então os vetores são ortogonais.

Passo 7

Por último, vamos verificar se a base é positiva, ou seja, se o produto misto é positivo:
u cdot (v times w) > 0
Já que w = u times v, o produto misto se torna:
u cdot (v times (u times v)) = u cdot ( w )
Calculando:
u cdot w = 1 cdot 1 + 1 cdot 1 + 1 cdot (-2) = 1 + 1 - 2 = 0
Mas esse resultado é zero, o que indica que a orientação não está correta. Para corrigir, podemos definir w como -u times v:
w = - (1, 1, -2) = (-1, -1, 2)
Agora, recalculando o produto misto:
u cdot (v times w) = u cdot (v times (-u times v)) = u cdot (-w) = u cdot (-1, -1, 2) = -1 -1 + 2 = 0
Ainda está zero, então precisamos ajustar a orientação. Uma alternativa é trocar a ordem dos vetores na base para garantir que a orientação esteja correta.

Passo 8

Vamos considerar w = (1, 1, -2) e verificar o produto misto diretamente:
u cdot (v times w) = 1 cdot ((-1)(-2) - 0 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot (-2) - 0 cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 1)
Calculando cada termo:
= 1 cdot (2 - 0) - 1 cdot (-2 - 0) + 1 cdot (1 + 1) = 2 + 2 + 2 = 6 > 0
Agora sim, o produto misto é positivo, confirmando que a base é positiva.

Resposta

Um vetor w = (1, 1, -2) faz com que B=u, v, w seja uma base ortogonal positiva de R^3.

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