Sejam e
(b) Encontre um vetor para que seja uma base ortogonal positiva de (Observação: Uma base em é positiva se satisfaz a regra da mão direita, ou seja, seu produto misto deve ser positivo).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um vetor tal que o conjunto forme uma base ortogonal positiva de . Isso envolve entender conceitos de bases, ortogonalidade e orientação positiva no espaço tridimensional. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como vetores, produtos internos e produto misto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base ortogonal positiva. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que “preenchem” o espaço, ou seja, qualquer vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Uma base é ortogonal se todos os vetores são perpendiculares entre si, ou seja, o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero.
Passo 3
Além disso, a base ser “positiva” significa que ela segue a regra da mão direita. Isso quer dizer que o produto misto (ou produto escalar triplo) dos três vetores deve ser positivo. O produto misto de , e é calculado como e deve ser maior que zero.
Passo 4
Agora, temos os vetores e . Mas, se e são iguais, eles não são linearmente independentes, o que impede que formem uma base. Então, vamos assumir que houve um erro de digitação e que é diferente de . Suponhamos que para prosseguir.
Passo 5
Para tornar a base ortogonal, precisamos que seja perpendicular a ambos e . Podemos encontrar usando o produto vetorial entre e :
Mas esse resultado é zero, o que indica que a orientação não está correta. Para corrigir, podemos definir w como -u times v:
w = - (1, 1, -2) = (-1, -1, 2)
Agora, recalculando o produto misto:
u cdot (v times w) = u cdot (v times (-u times v)) = u cdot (-w) = u cdot (-1, -1, 2) = -1 -1 + 2 = 0
Ainda está zero, então precisamos ajustar a orientação. Uma alternativa é trocar a ordem dos vetores na base para garantir que a orientação esteja correta.
Passo 8
Vamos considerar w = (1, 1, -2) e verificar o produto misto diretamente: