Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo: tal que .
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar exemplos de transformações lineares cuja imagem seja o conjunto de vetores que satisfazem a equação . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre transformações lineares, espaços vetoriais e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais leva vetores de um espaço para outro, preservando as operações de adição e multiplicação por escalar. Em termos de matrizes, qualquer transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de ordem , onde .
Passo 3
Queremos que a imagem de , ou seja, , seja o conjunto de vetores que satisfazem . Esse conjunto forma um plano no espaço tridimensional. Para construir uma matriz que tenha esse plano como imagem, precisamos garantir que as colunas de gerem esse espaço.
Passo 4
Vamos escolher dois vetores que pertencem ao plano para serem as colunas da matriz . Por exemplo, podemos escolher:
Vamos verificar se esses vetores estão no plano:
Para : ✔️
For : ✔️
Passo 5
Agora, construímos a matriz usando e como as primeiras duas colunas. A terceira coluna pode ser um vetor que também pertença ao plano ou um vetor nulo para simplificar. Vamos escolher a terceira coluna como o vetor nulo:
Passo 6
Essa matriz T(x) = Ax = 1 & 1 & 0 2 & 0 & 0 1 & 2 & 0 x1 x2 x3 = x1 + x2 2x1 x1 + 2x2 representa a transformação linear 2x1 = 2(x1) - (x1 + 2x2) 2x1 = 2x1 - x1 - 2x2 2x1 = x1 - 2x2 x1 = -2x2 tal que para qualquer vetor em :
[
T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} =
]
Vamos verificar se para os vetores na imagem:
Substituindo na equação:
Isso mostra que a imagem está restrita ao plano .
Resposta
Um exemplo de transformação linear que satisfaz A = 1 & 1 & 0 2 & 0 & 0 1 & 2 & 0 é a transformação representada pela matriz