Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo:
tal que .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar exemplos de transformações lineares cuja imagem seja o conjunto de vetores que satisfazem a equação . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre transformações lineares, espaços vetoriais e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais leva vetores de um espaço para outro, preservando as operações de adição e multiplicação por escalar. Em termos de matrizes, qualquer transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de ordem , onde .

Passo 3

Queremos que a imagem de , ou seja, , seja o conjunto de vetores que satisfazem . Esse conjunto forma um plano no espaço tridimensional. Para construir uma matriz que tenha esse plano como imagem, precisamos garantir que as colunas de gerem esse espaço.

Passo 4

Vamos escolher dois vetores que pertencem ao plano para serem as colunas da matriz . Por exemplo, podemos escolher:
Vamos verificar se esses vetores estão no plano:
  • Para : ✔️
  • For : ✔️

Passo 5

Agora, construímos a matriz usando e como as primeiras duas colunas. A terceira coluna pode ser um vetor que também pertença ao plano ou um vetor nulo para simplificar. Vamos escolher a terceira coluna como o vetor nulo:

Passo 6

Essa matriz representa a transformação linear tal que para qualquer vetor em :

[
T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} =


]
Vamos verificar se para os vetores na imagem:
Substituindo na equação:
Isso mostra que a imagem está restrita ao plano .

Resposta

Um exemplo de transformação linear que satisfaz é a transformação representada pela matriz

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Determine uma base e a dimensão para o Núcleo e para a Imagem da transformação linear que satisfaz e .
Seja a transformação linear tal que e . Determine a lei de e verifique se a transformação é injetora e/ou sobrejetora.
Mostre que se uma transformação linear é injetora, então .