Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares:
(b) T: R^3 R^2 T(x, y, z)=(x+y, y+z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a núcleo (ou ker) e imagem (ou im). Vamos precisar trabalhar com sistemas lineares e entender como encontrar soluções e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T(x, y, z) = (x + y, y + z) = (0, 0) . O núcleo é o conjunto de todos os vetores x + y = 0 y + z = 0 em que são enviados para o vetor zero em pela transformação . Ou seja, queremos resolver o sistema de equações:
Isso nos dá as equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre x + y = 0 implies x = -y , y + z = 0 implies z = -y e (x, y, z) = (-y, y, -y) = y cdot (-1, 1, -1) .
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, expressamos e em função de :

Passo 4

Isso mostra que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar do vetor . Portanto, o núcleo é uma subespaço de gerado por esse vetor.
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, que aqui é 1.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem de A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 . A imagem é o conjunto de todos os vetores em 1 0 que podem ser obtidos aplicando 1 1 a algum vetor em 0 1.
Podemos representar como uma matriz de :
As colunas de são , , e .

Passo 6

Para determinar a base da imagem, precisamos identificar quais colunas são linearmente independentes. Observamos que as duas primeiras colunas 1 0 e 1 1 não são múltiplos uma da outra, então elas são lineares independentes. A terceira coluna pode ser escrita como a soma das duas primeiras, então não é necessária para a base.
Portanto, uma base para a imagem de 1 0, 1 1 é:

Passo 7

A dimensão da imagem é o número de vetores na base da imagem, que aqui é 2. Isso também confirma pelo Teorema da Dimensão que diz que a dimensão do núcleo mais a dimensão da imagem é igual à dimensão do espaço de partida ( ).

Resposta

O núcleo de 10 possui base 11 e dimensão 1. A imagem de possui base e dimensão 2.

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