Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear
definida por
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a núcleo (ou ker) e imagem (ou im). Vamos precisar trabalhar com sistemas lineares e entender como encontrar soluções e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
em
que são enviados para o vetor zero em
pela transformação
. Ou seja, queremos resolver o sistema de equações:
Isso nos dá as equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre
,
e
.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, expressamos
e
em função de
:
Passo 4
Isso mostra que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar do vetor
. Portanto, o núcleo é uma subespaço de
gerado por esse vetor.
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, que aqui é 1.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem de
. A imagem é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor em
.
Podemos representar
como uma matriz
de
:
As colunas de
são
,
, e
.
Passo 6
Para determinar a base da imagem, precisamos identificar quais colunas são linearmente independentes. Observamos que as duas primeiras colunas
e
não são múltiplos uma da outra, então elas são lineares independentes. A terceira coluna pode ser escrita como a soma das duas primeiras, então não é necessária para a base.
Portanto, uma base para a imagem de
é:
Passo 7
A dimensão da imagem é o número de vetores na base da imagem, que aqui é 2. Isso também confirma pelo Teorema da Dimensão que diz que a dimensão do núcleo mais a dimensão da imagem é igual à dimensão do espaço de partida (
).
Resposta
O núcleo de
possui base
e dimensão 1. A imagem de
possui base
e dimensão 2.