Mostre que todo conjunto infinito possui um subconjunto (infinito) enumerável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que todo conjunto infinito tem um subconjunto infinito que é enumerável. Isso está relacionado ao estudo de conjuntos infinitos e contagem, que fazem parte da matéria de Matemática Discreta ou Teoria dos Conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser “infinito” e “enumerável”.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto infinito. Um conjunto é infinito se não tem um número finito de elementos. Por exemplo, o conjunto dos números naturais é infinito.
Já um conjunto é enumerável (ou contável) se seus elementos podem ser colocados em uma lista, ou seja, podem ser “contados” um a um, mesmo que a lista nunca termine. Formalmente, um conjunto é enumerável se existe uma bijeção (uma correspondência um a um) entre e .

Passo 3

Agora, vamos ao que precisamos provar: que qualquer conjunto infinito tem um subconjunto que é infinito e enumerável. A ideia é construir esse subconjunto selecionando elementos de um por um, garantindo que nunca acabamos de escolher elementos (já que é infinito).

Passo 4

Vamos construir o subconjunto de forma iterativa:
  1. Escolha o primeiro elemento: Escolha qualquer elemento de .
  2. Escolha o segundo elemento: Como é infinito, sem ainda é infinito. Escolha de .
  3. Continue assim: Para cada , escolha de .

Passo 5

Esse processo cria uma sequência . Como sempre podemos escolher um novo elemento (pois é infinito e nunca acabamos), também é infinito.

Passo 6

Além disso, a sequência está em correspondência com os números naturais , já que cada elemento está associado a um único número natural . Isso mostra que é enumerável.

Resposta

Portanto, todo conjunto infinito possui um subconjunto infinito que é enumerável.

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