Mostre que todo conjunto infinito possui um subconjunto (infinito) enumerável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que todo conjunto infinito tem um subconjunto infinito que é enumerável. Isso está relacionado ao estudo de conjuntos infinitos e contagem, que fazem parte da matéria de Matemática Discreta ou Teoria dos Conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser “infinito” e “enumerável”.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto infinito. Um conjunto é infinito se não tem um número finito de elementos. Por exemplo, o conjunto dos números naturais
é infinito.
Já um conjunto é enumerável (ou contável) se seus elementos podem ser colocados em uma lista, ou seja, podem ser “contados” um a um, mesmo que a lista nunca termine. Formalmente, um conjunto
é enumerável se existe uma bijeção (uma correspondência um a um) entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos ao que precisamos provar: que qualquer conjunto infinito
tem um subconjunto
que é infinito e enumerável. A ideia é construir esse subconjunto
selecionando elementos de
um por um, garantindo que nunca acabamos de escolher elementos (já que
é infinito).
Passo 4
Vamos construir o subconjunto
de forma iterativa:
- Escolha o primeiro elemento: Escolha qualquer elemento
de . - Escolha o segundo elemento: Como
é infinito, sem ainda é infinito. Escolha de . - Continue assim: Para cada
, escolha de .
Passo 5
Esse processo cria uma sequência
. Como sempre podemos escolher um novo elemento (pois
é infinito e nunca acabamos),
também é infinito.
Passo 6
Além disso, a sequência
está em correspondência com os números naturais
, já que cada elemento
está associado a um único número natural
. Isso mostra que
é enumerável.
Resposta
Portanto, todo conjunto infinito possui um subconjunto infinito que é enumerável.