Determine conhecendo os valores de na base de .
(d) , tal que

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma transformação linear que vai de (que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais) pra (o plano cartesiano). A gente já sabe como age em quatro matrizes que formam uma base de . Nosso objetivo é descobrir uma fórmula geral para usando essas informações. Para isso, vamos precisar entender sobre bases, transformações lineares e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as quatro matrizes da base e ver como age nelas. As matrizes da base são:
E as imagens dessas matrizes pela transformação são:

Passo 3

Agora, qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes da base. Ou seja:
Onde são números reais que representam os coeficientes dessa combinação linear.

Passo 4

Como é uma transformação linear, ela respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. Então, podemos aplicar em :
Substituindo pelos valores que já conhecemos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa expressão. Isso significa somar os componentes correspondentes:

Passo 6

Por fim, precisamos expressar os coeficientes em termos dos elementos da matriz . A matriz é:
Então, podemos substituir diretamente:

Resposta

A transformação é dada por:

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Nos problemas de a) a d) são apresentados subconjuntos do . Verificar quais deles são subespaços vetoriais do relativamente às operações de adição e multiplicação por esalar usuais. e
Prove que todo número primo maior que 2 é ímpar.
Existe uma transformação linear injetora :