Determine
conhecendo os valores de
na base de
.
(d)
, tal que
(d)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma transformação linear
que vai de
(que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais) pra
(o plano cartesiano). A gente já sabe como
age em quatro matrizes que formam uma base de
. Nosso objetivo é descobrir uma fórmula geral para
usando essas informações. Para isso, vamos precisar entender sobre bases, transformações lineares e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as quatro matrizes da base
e ver como
age nelas. As matrizes da base são:
E as imagens dessas matrizes pela transformação
são:
Passo 3
Agora, qualquer matriz
em
pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes da base. Ou seja:
Onde
são números reais que representam os coeficientes dessa combinação linear.
Passo 4
Como
é uma transformação linear, ela respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. Então, podemos aplicar
em
:
Substituindo pelos valores que já conhecemos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa expressão. Isso significa somar os componentes correspondentes:
Passo 6
Por fim, precisamos expressar os coeficientes
em termos dos elementos da matriz
. A matriz
é:
Então, podemos substituir diretamente:
Resposta
A transformação
é dada por:
Exercícios relacionados
Nos problemas de a) a d) são apresentados subconjuntos do
. Verificar quais deles são subespaços vetoriais do
relativamente às operações de adição e multiplicação por esalar usuais.
e
Prove que todo número primo maior que 2 é ímpar.
Existe uma transformação linear injetora
: