Determine T: V longrightarrow W conhecendo os valores de T na base de V.
(d) T: M2 x 2(R) longrightarrow R^2, tal que
T((rr 1 & -1 0 & 0 ))=(1,0), T((ll 0 & 1 1 & 2 ))=(2,1)
T((ll 2 & 0 0 & 1 ))=(0,1), T((ll 1 & 0 0 & 1 ))=(-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma transformação linear que vai de (que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais) pra (o plano cartesiano). A gente já sabe como age em quatro matrizes que formam uma base de . Nosso objetivo é descobrir uma fórmula geral para usando essas informações. Para isso, vamos precisar entender sobre bases, transformações lineares e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as quatro matrizes da base B1 = 1 & -1 0 & 0 , B2 = 0 & 1 1 & 2 , B3 = 2 & 0 0 & 1 , B4 = 1 & 0 0 & 1 e ver como T(B1) = (1, 0), T(B2) = (2, 1), T(B3) = (0, 1), T(B4) = (-1, 1) age nelas. As matrizes da base são:
E as imagens dessas matrizes pela transformação são:

Passo 3

Agora, qualquer matriz A = aB1 + bB2 + cB3 + dB4 em pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes da base. Ou seja:
Onde são números reais que representam os coeficientes dessa combinação linear.

Passo 4

Como T(A) = T(aB1 + bB2 + cB3 + dB4) = aT(B1) + bT(B2) + cT(B3) + dT(B4) é uma transformação linear, ela respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. Então, podemos aplicar T(A) = a(1, 0) + b(2, 1) + c(0, 1) + d(-1, 1) em :
Substituindo pelos valores que já conhecemos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa expressão. Isso significa somar os componentes correspondentes:
T(A) = (a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot 0 + d cdot (-1), , a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 1 + d cdot 1) = (a + 2b - d, , b + c + d)

Passo 6

Por fim, precisamos expressar os coeficientes A = a & b c & d em termos dos elementos da matriz T( a & b c & d ) = (a + 2b - d, , b + c + d) . A matriz é:
Então, podemos substituir diretamente:

Resposta

A transformação T( a & b c & d ) = (a + 2b - d,; b + c + d) é dada por:

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