Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares:
(d) T: R^5 R^3 T(x, y, z, s, t)=(x+2 y+2 z+s+ t, x+2 y+3 z+2 s-t, 3 x+6 y+8 z+5 s-t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base e determinar a dimensão do núcleo e da imagem dessa transformação linear . Isso está no campo da álgebra linear, especificamente lidando com espaços vetoriais e transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar montar a matriz da transformação, encontrar o núcleo (solução da equação ) e a imagem (espaço gerado pelas colunas da matriz). Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a transformação T(x, y, z, s, t) = x + 2y + 2z + s + t x + 2y + 3z + 2s - t 3x + 6y + 8z + 5s - t como uma matriz. A transformação A = 1 & 2 & 2 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 2 & -1 3 & 6 & 8 & 5 & -1 está definida por:
Isso significa que a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o núcleo de x + 2y + 2z + s + t = 0 x + 2y + 3z + 2s - t = 0 3x + 6y + 8z + 5s - t = 0 , que é o conjunto de todos os vetores tais que . Isso equivale a resolver o sistema linear .
Vamos escrever o sistema:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema usando uma matriz aumentada e aplicando operações de linha para reduzir a matriz:
1 & 2 & 2 & 1 & 1 & | & 0 1 & 2 & 3 & 2 & -1 & | & 0 3 & 6 & 8 & 5 & -1 & | & 0
Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar o (1-1) (2-2) (3-2) (2-1) (-1-1) | 0-0 0 0 1 1 -2 | 0 :
Linha2 = Linha2 - Linha1:
(3-3) (6-6) (8-6) (5-3) (-1-3) | 0-0 0 0 2 2 -4 | 0
Linha3 = Linha3 - 3 × Linha1:
1 & 2 & 2 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & | & 0 0 & 0 & 2 & 2 & -4 & | & 0
Agora, a matriz fica:

Passo 5

Vamos simplificar a terceira linha dividindo por 2:
Linha3 = (1/2) × Linha3:
0 0 1 1 -2 | 0
Agora, percebemos que a terceira linha é igual à segunda. Isso significa que temos um sistema consistente com duas equações independentes.
Então, as equações simplificadas são:
x + 2y + 2z + s + t = 0 0 + 0 + z + s - 2t = 0

Passo 6

Vamos expressar algumas variáveis em termos das outras para encontrar o núcleo. Vamos deixar z = -s + 2t e x + 2y + 2(-s + 2t) + s + t = 0 x + 2y - 2s + 4t + s + t = 0 x + 2y - s + 5t = 0 x = -2y + s - 5t como variáveis livres.
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de x = -2y + s - 5t y = y z = -s + 2t s = s t = t e x = -2y + s - 5t y -s + 2t s t = y -2 1 0 0 0 + s 1 0 -1 1 0 + t -5 0 2 0 1 :
Vamos escrever o vetor no núcleo:

Passo 8

Isso mostra que o núcleo é gerado por esses três vetores:
Núc<=o(T) = span -2 1 0 0 0 , 1 0 -1 1 0 , -5 0 2 0 1 ú
Então, uma base para o núcleo é:
-2 1 0 0 0 , 1 0 -1 1 0 , -5 0 2 0 1
E a dimensão do núcleo é 3.

Passo 9

Agora, vamos encontrar a imagem de A = 1 & 2 & 2 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 2 & -1 3 & 6 & 8 & 5 & -1 . A imagem é o espaço gerado pelas colunas da matriz . Vamos ver quais colunas são independentes.
A matriz é:
Já vimos que as colunas 1, 2 e 3 estão relacionadas, mas vamos conferir a independência linear.
Observando a terceira linha da matriz reduzida, que temos duas equações independentes, a imagem terá dimensão igual a 2.

Passo 10

Para encontrar uma base para a imagem, selecionamos as colunas correspondentes às variáveis pivô na matriz reduzida. No nosso caso, as duas primeiras colunas originais são suficientes.
Então, uma base para a imagem de 1 1 3 , 2 2 6 é:
1 1 3
Mas percebemos que a segunda coluna é múltiplo da primeira ( 2 2 6 ), então precisamos escolher outra coluna independente. Vamos escolher a terceira coluna.
Então, uma base correta para a imagem é:
1 1 3 , 2 3 8
E a dimensão da imagem é 2.

Resposta

A base do núcleo de -2 1 0 0 0 é formada pelos vetores 1 0 -1 1 0 , -5 0 2 0 1 e 1 1 3 , com dimensão 3. A base da imagem de 2 3 8 é formada pelos vetores e , com dimensão 2.

Exercícios relacionados