Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares:
(d) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base e determinar a dimensão do núcleo e da imagem dessa transformação linear . Isso está no campo da álgebra linear, especificamente lidando com espaços vetoriais e transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar montar a matriz da transformação, encontrar o núcleo (solução da equação ) e a imagem (espaço gerado pelas colunas da matriz). Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a transformação como uma matriz. A transformação está definida por:
Isso significa que a matriz associada a é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o núcleo de , que é o conjunto de todos os vetores tais que . Isso equivale a resolver o sistema linear .
Vamos escrever o sistema:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema usando uma matriz aumentada e aplicando operações de linha para reduzir a matriz:
Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar o :
Linha2 = Linha2 - Linha1:
Linha3 = Linha3 - 3 × Linha1:
Agora, a matriz fica:
Passo 5
Vamos simplificar a terceira linha dividindo por 2:
Linha3 = (1/2) × Linha3:
Agora, percebemos que a terceira linha é igual à segunda. Isso significa que temos um sistema consistente com duas equações independentes.
Então, as equações simplificadas são:
Passo 6
Vamos expressar algumas variáveis em termos das outras para encontrar o núcleo. Vamos deixar e como variáveis livres.
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 7
Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de e :
Vamos escrever o vetor no núcleo:
Passo 8
Isso mostra que o núcleo é gerado por esses três vetores:
ú
Então, uma base para o núcleo é:
E a dimensão do núcleo é 3.
Passo 9
Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o espaço gerado pelas colunas da matriz . Vamos ver quais colunas são independentes.
A matriz é:
Já vimos que as colunas 1, 2 e 3 estão relacionadas, mas vamos conferir a independência linear.
Observando a terceira linha da matriz reduzida, que temos duas equações independentes, a imagem terá dimensão igual a 2.
Passo 10
Para encontrar uma base para a imagem, selecionamos as colunas correspondentes às variáveis pivô na matriz reduzida. No nosso caso, as duas primeiras colunas originais são suficientes.
Então, uma base para a imagem de é:
Mas percebemos que a segunda coluna é múltiplo da primeira (), então precisamos escolher outra coluna independente. Vamos escolher a terceira coluna.
Então, uma base correta para a imagem é:
E a dimensão da imagem é 2.
Resposta
A base do núcleo de é formada pelos vetores , e , com dimensão 3. A base da imagem de é formada pelos vetores e , com dimensão 2.