Determine o núcleo das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
(d) T: R^3 R^3 T(x, y, z)=(z-x, z-2 x, z-3 x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o núcleo da transformação linear definida por . O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicados na transformação, resultam no vetor zero. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e solução de sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o núcleo dessa transformação. Queremos achar todos os vetores T(x, y, z) = 0 em que, ao serem transformados por , dão o vetor zero, ou seja:

Passo 3

Vamos escrever isso de forma mais detalhada. A transformação T(x, y, z) = z - x z - 2x z - 3x = 0 0 0 nos dá:
z - x = 0 z - 2x = 0 z - 3x = 0
Isso nos leva ao seguinte sistema de equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema. A primeira equação nos diz que x - 2x = -x = 0 Rightarrow x = 0 . Substituindo na segunda equação:
Se e , então .

Passo 5

Com 0 - 3(0) = 0 e , a terceira equação também é satisfeita:
A variável não apareceu em nenhuma dessas equações, o que significa que ela pode ser qualquer número real.

Passo 6

Então, todos os vetores no núcleo têm a forma , onde pode ser qualquer valor real. Geometricamente, isso representa uma linha ao longo do eixo no espaço tridimensional.

Resposta

O núcleo da transformação linear Núc<=o(T) = , (0, y, 0) mid y in R , é o conjunto de todos os vetores com real, ou seja:
ú
Geometricamente, esse núcleo corresponde a uma reta ao longo do eixo no espaço .

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