Determine o núcleo das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
(d) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o núcleo da transformação linear definida por . O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicados na transformação, resultam no vetor zero. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e solução de sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o núcleo dessa transformação. Queremos achar todos os vetores em que, ao serem transformados por , dão o vetor zero, ou seja:
Passo 3
Vamos escrever isso de forma mais detalhada. A transformação nos dá:
Isso nos leva ao seguinte sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema. A primeira equação nos diz que . Substituindo na segunda equação:
Se e , então .
Passo 5
Com e , a terceira equação também é satisfeita:
A variável não apareceu em nenhuma dessas equações, o que significa que ela pode ser qualquer número real.
Passo 6
Então, todos os vetores no núcleo têm a forma , onde pode ser qualquer valor real. Geometricamente, isso representa uma linha ao longo do eixo no espaço tridimensional.
Resposta
O núcleo da transformação linear é o conjunto de todos os vetores com real, ou seja:
ú
Geometricamente, esse núcleo corresponde a uma reta ao longo do eixo no espaço .