Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Mostre que, para quaisquer :
© .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial com produto interno sobre , para quaisquer vetores e em , a igualdade das normas é equivalente a .
Então, vamos usar conceitos de normas e produtos internos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a norma de um vetor em um espaço com produto interno é definida por:
Isso significa que .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno . Usando a propriedade distributiva do produto interno, temos:
Como estamos trabalhando sobre , o produto interno é simétrico, ou seja, . Assim, a expressão fica:
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos analisar a equivalência:
  1. Se :
    Se as normas são iguais, então . Substituindo na expressão que encontramos:
    Portanto, .
  2. Se :
    Da expressão que encontramos:
    Isso implica que , e portanto (já que normas são não-negativas).

Resposta

Portanto, mostramos que se e somente se .

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Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Mostre que, para quaisquer :
(a) .
Determine uma base e a dimensão, para o seguinte subespaço de :
Sejam os elementos e de . Encontre o elemento tal que e .
Seja o conjunto de todos os vetores da forma tal que . Verifique se é um subespaço de .