Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Mostre que, para quaisquer
:
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial
com produto interno sobre
, para quaisquer vetores
e
em
, a igualdade das normas
é equivalente a
.
Então, vamos usar conceitos de normas e produtos internos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a norma de um vetor
em um espaço com produto interno é definida por:
Isso significa que
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto interno
. Usando a propriedade distributiva do produto interno, temos:
Como estamos trabalhando sobre
, o produto interno é simétrico, ou seja,
. Assim, a expressão fica:
Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos analisar a equivalência:
-
Se
: Se as normas são iguais, então. Substituindo na expressão que encontramos: Portanto,. -
Se
: Da expressão que encontramos:Isso implica que, e portanto (já que normas são não-negativas).
Resposta
Portanto, mostramos que
se e somente se
.
Exercícios relacionados
Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Mostre que, para quaisquer
:
(a) .
(a)
Determine uma base e a dimensão, para o seguinte subespaço de
:
Sejam os elementos
e
de
. Encontre o elemento
tal que
e
.
Seja
o conjunto de todos os vetores da forma
tal que
. Verifique se
é um subespaço de
.