Prove que a transformação linear T: R P2(R) dada por
T(a, b, c)=(a-b)+(c-a) x+(b+c) x^2
é um isomorfismo.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Temos uma transformação linear T(a, b, c) = (a - b) + (c - a)x + (b + c)x^2 definida por
Nosso objetivo é provar que essa transformação é um isomorfismo. Para isso, precisamos entender que um isomorfismo é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Vamos precisar dos conceitos de transformação linear, injetividade e sobrejetividade para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação linear (a - b) + (c - a)x + (b + c)x^2 = 0 é injetora se cada elemento do espaço de chegada é mapeado por, no máximo, um elemento do espaço de partida. Isso também significa que o núcleo de a - b = 0 c - a = 0 b + c = 0 (conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero) contém apenas o vetor zero.
Vamos verificar a injetividade de . Suponha que , onde é o polinômio nulo:
Para que esse polinômio seja zero, todos os coeficientes devem ser iguais a zero. Então temos o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação, implica .
  2. Da segunda equação, implica .
  3. Substituindo e na terceira equação: , portanto, .
Assim, . Isso significa que o único vetor que é mapeado para o vetor zero é o vetor zero. Portanto, a transformação é injetora.

Passo 4

Agora, vamos verificar a sobrejetividade de . Uma transformação linear é sobrejetora se todo elemento do espaço de chegada pode ser obtido como imagem de algum elemento do espaço de partida .
Como tanto quanto têm dimensão 3, e já mostramos que é injetora, podemos concluir que também é sobrejetora.

Resposta

Portanto, a transformação linear é um isomorfismo.

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