Prove que cada uma das transformações lineares abaixo é um isomorfismo, e encontre os respectivos isomorfismos inversos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa transformação é um isomorfismo, ou seja, que ela é uma função bijetora (injeção e sobrejeção) e, além disso, encontrar a transformação inversa dela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e inversas de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Isso facilita muito o nosso trabalho, já que podemos usar propriedades das matrizes para verificar se é um isomorfismo. A matriz de será formada pelos coeficientes das variáveis , e nas expressões dadas.
Então, a matriz de é:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a matriz det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - (-4) cdot 0) - (-3) cdot (0 cdot 1 - (-4) cdot 0) + (-2) cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 0) = 1 cdot 1 - (-3) cdot 0 + (-2) cdot 0 = 1 é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é , que é diferente de zero, a matriz é invertível. Isso significa que é um isomorfismo.
Passo 4
Com a certeza de que A^-1 = 1 & 3 & 14 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1 é um isomorfismo, vamos encontrar a transformação inversa . Para isso, precisamos calcular a matriz inversa de .
Primeiro, observamos que é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares superiores, a inversa também será triangular superior, e os elementos podem ser calculados diretamente.
Calculando a inversa de :
Passo 5
Agora, interpretamos x y z = A^-1 a b c = 1 cdot a + 3 cdot b + 14 cdot c 0 cdot a + 1 cdot b + 4 cdot c 0 cdot a + 0 cdot b + 1 cdot c como a transformação inversa T^-1(a, b, c) = (a + 3b + 14c, b + 4c, c) . Isso significa que, se , então: