Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de
:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma base e a dimensão de um subespaço de
. O subespaço é definido pelas condições
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são base e dimensão, e como encontrar vetores que satisfazem essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as condições dadas:
e
. Se
e também
, então temos que
. Subtraindo
de ambos os lados, obtemos
. Substituindo
na equação
, obtemos
. Portanto,
e
são ambos iguais a zero.
Passo 3
Com
e
, o único componente que pode variar é
. Assim, qualquer vetor no subespaço será da forma
, onde
é um número real. Isso significa que o subespaço é composto por todos os vetores que apontam ao longo do eixo
.
Passo 4
Agora, para encontrar uma base desse subespaço, precisamos de um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o subespaço. Como todos os vetores têm a forma
, podemos escolher um vetor que represente a direção do eixo
, por exemplo,
.
Passo 5
Como só precisamos de um vetor para gerar todo o subespaço e não há necessidade de mais vetores para manter a independência linear, a base do subespaço é
.
Resposta
A base do subespaço é
e a dimensão é
.
Exercícios relacionados
Scja
com
Mostre que é um anel comutativo com unidade.
Mostre que
Prove que
não é um ideal primo de
. (Ajuda: mostre que
mas
Nos ítens abaixo, o vetor
está escrito na base
. Reescreva-o na base V
(b)
(b)
Todo divisor de zero à esquerda é também divisor de zero à direita?