Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de R^3 :
(x, y, z) in R^3 mid x=2 y e x=y

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma base e a dimensão de um subespaço de R^3. O subespaço é definido pelas condições x = 2y e x = y. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são base e dimensão, e como encontrar vetores que satisfazem essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as condições dadas: x = 2y e x = y. Se x = 2y e também x = y, então temos que 2y = y. Subtraindo y de ambos os lados, obtemos y = 0. Substituindo y = 0 na equação x = y, obtemos x = 0. Portanto, x e y são ambos iguais a zero.

Passo 3

Com x = 0 e y = 0, o único componente que pode variar é z. Assim, qualquer vetor no subespaço será da forma (0, 0, z), onde z é um número real. Isso significa que o subespaço é composto por todos os vetores que apontam ao longo do eixo z.

Passo 4

Agora, para encontrar uma base desse subespaço, precisamos de um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o subespaço. Como todos os vetores têm a forma (0, 0, z), podemos escolher um vetor que represente a direção do eixo z, por exemplo, (0, 0, 1).

Passo 5

Como só precisamos de um vetor para gerar todo o subespaço e não há necessidade de mais vetores para manter a independência linear, a base do subespaço é (0, 0, 1).

Resposta

A base do subespaço é (0, 0, 1) e a dimensão é 1.

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