Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de :

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma base e a dimensão de um subespaço de . O subespaço é definido pelas condições e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são base e dimensão, e como encontrar vetores que satisfazem essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as condições dadas: e . Se e também , então temos que . Subtraindo de ambos os lados, obtemos . Substituindo na equação , obtemos . Portanto, e são ambos iguais a zero.

Passo 3

Com e , o único componente que pode variar é . Assim, qualquer vetor no subespaço será da forma , onde é um número real. Isso significa que o subespaço é composto por todos os vetores que apontam ao longo do eixo .

Passo 4

Agora, para encontrar uma base desse subespaço, precisamos de um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o subespaço. Como todos os vetores têm a forma , podemos escolher um vetor que represente a direção do eixo , por exemplo, .

Passo 5

Como só precisamos de um vetor para gerar todo o subespaço e não há necessidade de mais vetores para manter a independência linear, a base do subespaço é .

Resposta

A base do subespaço é e a dimensão é .

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