Scja
com
Mostre que
é um anel comutativo com unidade.
Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos o conjunto
, ou seja, todos os números que podem ser escritos como uma combinação de inteiros
e
multiplicados por 1 e
. A questão quer que a gente prove que esse conjunto forma um anel comutativo com unidade. Para isso, vamos precisar conhecer o que é um anel, o que significa ser comutativo e ter uma unidade, além de verificar se
satisfaz essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura algébrica que possui duas operações: adição e multiplicação. Para que um conjunto com essas operações seja um anel, ele precisa satisfazer algumas propriedades:
- Fechamento sob adição e multiplicação.
- Associatividade da adição e da multiplicação.
- Existência de um elemento neutro para a adição (o zero).
- Existência de inversos aditivos (para todo elemento, existe outro que soma a zero).
- Distributividade da multiplicação sobre a adição.
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para
:
-
Fechamento:
- Adição: Se tivermos dois elementos
e em , sua soma é , que ainda está em porque e são inteiros. - Multiplicação: A multiplicação desses dois elementos dá
. Sabendo que , temos . Como e são inteiros, o resultado também está em .
- Adição: Se tivermos dois elementos
-
Associatividade:
- Tanto a adição quanto a multiplicação de números reais são associativas, e isso se aplica a
.
- Tanto a adição quanto a multiplicação de números reais são associativas, e isso se aplica a
-
Elemento neutro da adição:
- O elemento
, que é simplesmente 0, atua como neutro aditivo, pois somar qualquer elemento com 0 não muda o elemento.
- O elemento
-
Inversos aditivos:
- Para qualquer elemento
, seu inverso aditivo é , que também pertence a .
- Para qualquer elemento
-
Distributividade:
- A multiplicação distribui sobre a adição, ou seja, $ (a + b\sqrt{2}) \times (c + d\sqrt{2} + e + f\sqrt{2}) = (a + b\sqrt{2}) \times (c + d\sqrt{2}) + (a + b\sqrt{2}) \times (e + f\sqrt{2})$. Isso é válido devido às propriedades distributivas dos números reais.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é comutativo. Um anel é comutativo se a multiplicação é comutativa, ou seja, para quaisquer elementos
e
, temos
.
Como estamos lidando com a multiplicação de números reais (pois
é um número real), que sabemos ser comutativa, isso se aplica a
. Portanto,
é um anel comutativo.
Passo 5
Por fim, vamos mostrar que
possui uma unidade, ou seja, um elemento que age como identidade para a multiplicação. O elemento unidade é aquele que, ao multiplicar qualquer elemento do anel, retorna o próprio elemento.
No caso de
, o elemento
atua como a unidade multiplicativa. Por exemplo,
e
.
Resposta
Assim, provamos que
é um anel comutativo com unidade.
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Prove que
não é um ideal primo de
. (Ajuda: mostre que
mas
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(d)
(d)
Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de
:
Nos ítens abaixo, o vetor
está escrito na base
. Reescreva-o na base V
(b)
(b)