Scja Z[raiz2]=a+b raiz2, com a, b in Z
Mostre que Z[raiz2] é um anel comutativo com unidade.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos o conjunto Z[raiz2] = a + braiz2 mid a, b in Z, ou seja, todos os números que podem ser escritos como uma combinação de inteiros a e b multiplicados por 1 e raiz2. A questão quer que a gente prove que esse conjunto forma um anel comutativo com unidade. Para isso, vamos precisar conhecer o que é um anel, o que significa ser comutativo e ter uma unidade, além de verificar se Z[raiz2] satisfaz essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura algébrica que possui duas operações: adição e multiplicação. Para que um conjunto com essas operações seja um anel, ele precisa satisfazer algumas propriedades:
  1. Fechamento sob adição e multiplicação.
  2. Associatividade da adição e da multiplicação.
  3. Existência de um elemento neutro para a adição (o zero).
  4. Existência de inversos aditivos (para todo elemento, existe outro que soma a zero).
  5. Distributividade da multiplicação sobre a adição.

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas propriedades para Z[raiz2]:
  1. Fechamento:
    • Adição: Se tivermos dois elementos a + braiz2 e c + draiz2 em Z[raiz2], sua soma é (a + c) + (b + d)raiz2, que ainda está em Z[raiz2] porque a + c e b + d são inteiros.
    • Multiplicação: A multiplicação desses dois elementos dá ac + (ad + bc)raiz2 + bd(raiz2)^2. Sabendo que (raiz2)^2 = 2, temos ac + 2bd + (ad + bc)raiz2. Como ac + 2bd e ad + bc são inteiros, o resultado também está em Z[raiz2].
  2. Associatividade:
    • Tanto a adição quanto a multiplicação de números reais são associativas, e isso se aplica a Z[raiz2].
  3. Elemento neutro da adição:
    • O elemento 0 + 0raiz2, que é simplesmente 0, atua como neutro aditivo, pois somar qualquer elemento com 0 não muda o elemento.
  4. Inversos aditivos:
    • Para qualquer elemento a + braiz2, seu inverso aditivo é -a - braiz2, que também pertence a Z[raiz2].
  5. Distributividade:
    • A multiplicação distribui sobre a adição, ou seja, $ (a + b\sqrt{2}) \times (c + d\sqrt{2} + e + f\sqrt{2}) = (a + b\sqrt{2}) \times (c + d\sqrt{2}) + (a + b\sqrt{2}) \times (e + f\sqrt{2})$. Isso é válido devido às propriedades distributivas dos números reais.

Passo 4

Agora, vamos verificar se Z[raiz2] é comutativo. Um anel é comutativo se a multiplicação é comutativa, ou seja, para quaisquer elementos x e y, temos xy = yx.
Como estamos lidando com a multiplicação de números reais (pois raiz2 é um número real), que sabemos ser comutativa, isso se aplica a Z[raiz2]. Portanto, Z[raiz2] é um anel comutativo.

Passo 5

Por fim, vamos mostrar que Z[raiz2] possui uma unidade, ou seja, um elemento que age como identidade para a multiplicação. O elemento unidade é aquele que, ao multiplicar qualquer elemento do anel, retorna o próprio elemento.
No caso de Z[raiz2], o elemento 1 + 0raiz2 = 1 atua como a unidade multiplicativa. Por exemplo, (1)(a + braiz2) = a + braiz2 e (a + braiz2)(1) = a + braiz2.

Resposta

Assim, provamos que Z[raiz2] é um anel comutativo com unidade.

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