Prove que lang<= x^2+1rang<= não é um ideal primo de Z2[x]. (Ajuda: mostre que (x+1)^2 inlang<= x^2+1rang<= mas (x+1) notinlang<= x^2+1rang<=)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o ideal lang<= x^2+1 rang<= não é um ideal primo no anel Z2[x]. Isso está relacionado ao estudo de ideais em álgebra abstrata, mais especificamente em teoria de anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal primo e como verificar se um determinado ideal possui essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal primo. Em um anel comutativo com unidade, um ideal P é primo se, sempre que o produto de dois elementos está em P, pelo menos um dos elementos está em P. Ou seja, se ab in P, então a in P ou b in P.

Passo 3

No nosso caso, queremos ver se lang<= x^2+1 rang<= é um ideal primo em Z2[x]. A dica do exercício sugere que a gente mostre que (x+1)^2 está no ideal lang<= x^2+1 rang<=, mas que (x+1) não está nesse ideal. Se conseguirmos isso, estaremos mostrando que o ideal não é primo, porque temos um produto dentro do ideal sem que os fatores individuais estejam no ideal.

Passo 4

Vamos calcular (x+1)^2:
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
Como estamos trabalhando em Z2[x], onde os coeficientes são módulo 2, 2x é igual a 0x, pois 2 equiv 0 mod 2. Então:
x^2 + 2x + 1 = x^2 + 0x + 1 = x^2 + 1
Portanto, (x+1)^2 = x^2 + 1, o que significa que (x+1)^2 in lang<= x^2+1 rang<=.

Passo 5

Agora, vamos verificar se (x+1) pertence ao ideal lang<= x^2+1 rang<=. Se (x+1) estivesse no ideal, poderíamos escrever (x+1) como múltiplo de x^2+1:
x + 1 = q(x)(x^2 + 1)
onde q(x) é um polinômio em Z2[x]. Mas observando os graus dos polinômios, x + 1 tem grau 1 e x^2 + 1 tem grau 2. Não há um polinômio q(x) de grau menor ou igual a -1 (o que não existe) que satisfaz essa igualdade. Assim, não existe tal q(x), e portanto, (x+1) notin lang<= x^2+1 rang<=.

Resposta

Concluímos que (x+1)^2 in lang<= x^2+1 rang<=, mas (x+1) notin lang<= x^2+1 rang<=. Portanto, o ideal lang<= x^2+1 rang<= não é um ideal primo em Z2[x].

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