Prove que não é um ideal primo de . (Ajuda: mostre que mas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o ideal não é um ideal primo no anel . Isso está relacionado ao estudo de ideais em álgebra abstrata, mais especificamente em teoria de anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal primo e como verificar se um determinado ideal possui essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal primo. Em um anel comutativo com unidade, um ideal é primo se, sempre que o produto de dois elementos está em , pelo menos um dos elementos está em . Ou seja, se , então ou .

Passo 3

No nosso caso, queremos ver se é um ideal primo em . A dica do exercício sugere que a gente mostre que está no ideal , mas que não está nesse ideal. Se conseguirmos isso, estaremos mostrando que o ideal não é primo, porque temos um produto dentro do ideal sem que os fatores individuais estejam no ideal.

Passo 4

Vamos calcular :
Como estamos trabalhando em , onde os coeficientes são módulo 2, é igual a , pois . Então:
Portanto, , o que significa que .

Passo 5

Agora, vamos verificar se pertence ao ideal . Se estivesse no ideal, poderíamos escrever como múltiplo de :
onde é um polinômio em . Mas observando os graus dos polinômios, tem grau 1 e tem grau 2. Não há um polinômio de grau menor ou igual a -1 (o que não existe) que satisfaz essa igualdade. Assim, não existe tal , e portanto, .

Resposta

Concluímos que , mas . Portanto, o ideal não é um ideal primo em .

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Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(d)
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
então dim
Scja com
Mostre que é um anel comutativo com unidade.
Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de :