Prove que
não é um ideal primo de
. (Ajuda: mostre que
mas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o ideal
não é um ideal primo no anel
. Isso está relacionado ao estudo de ideais em álgebra abstrata, mais especificamente em teoria de anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal primo e como verificar se um determinado ideal possui essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal primo. Em um anel comutativo com unidade, um ideal
é primo se, sempre que o produto de dois elementos está em
, pelo menos um dos elementos está em
. Ou seja, se
, então
ou
.
Passo 3
No nosso caso, queremos ver se
é um ideal primo em
. A dica do exercício sugere que a gente mostre que
está no ideal
, mas que
não está nesse ideal. Se conseguirmos isso, estaremos mostrando que o ideal não é primo, porque temos um produto dentro do ideal sem que os fatores individuais estejam no ideal.
Passo 4
Vamos calcular
:
Como estamos trabalhando em
, onde os coeficientes são módulo 2,
é igual a
, pois
. Então:
Portanto,
, o que significa que
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
pertence ao ideal
. Se
estivesse no ideal, poderíamos escrever
como múltiplo de
:
onde
é um polinômio em
. Mas observando os graus dos polinômios,
tem grau 1 e
tem grau 2. Não há um polinômio
de grau menor ou igual a -1 (o que não existe) que satisfaz essa igualdade. Assim, não existe tal
, e portanto,
.
Resposta
Concluímos que
, mas
. Portanto, o ideal
não é um ideal primo em
.
Exercícios relacionados
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(d)
(d)
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
então dim
Scja
com
Mostre que é um anel comutativo com unidade.
Mostre que
Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de
: