Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de :
e

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar uma base e a dimensão de um subespaço do espaço tridimensional . O subespaço é definido pelas condições e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, sistemas de equações lineares e noções de subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa e . A condição nos diz que qualquer vetor nesse subespaço terá a segunda coordenada igual a zero. Já relaciona as coordenadas e do vetor.

Passo 3

Vamos representar um vetor genérico desse subespaço como . A gente sabe que , então podemos expressar uma das variáveis em termos da outra. Vamos isolar :

Passo 4

Agora, podemos escrever o vetor em função de uma única variável, digamos . Substituindo na expressão do vetor:

Passo 5

Perceba que o vetor pode ser fatorado por :
Isso significa que todo vetor desse subespaço é múltiplo escalar do vetor .

Passo 6

Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Nesse caso, como todo vetor pode ser expresso como múltiplo de , esse vetor sozinho já forma uma base.

Passo 7

A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como nossa base tem apenas um vetor, a dimensão do subespaço é 1.

Resposta

Uma base para o subespaço é e a dimensão desse subespaço é 1.

Exercícios relacionados

Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(a)
Mostre que se é um inteiro positivo que não é primo, então não é um domínio.
a) Determine .
Nos ítens abaixo, o vetor está escrito na base . Reescreva-o na base V
(a) ;