Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de
:
e
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar uma base e a dimensão de um subespaço do espaço tridimensional
. O subespaço é definido pelas condições
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, sistemas de equações lineares e noções de subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
e
. A condição
nos diz que qualquer vetor nesse subespaço terá a segunda coordenada igual a zero. Já
relaciona as coordenadas
e
do vetor.
Passo 3
Vamos representar um vetor genérico desse subespaço como
. A gente sabe que
, então podemos expressar uma das variáveis em termos da outra. Vamos isolar
:
Passo 4
Agora, podemos escrever o vetor em função de uma única variável, digamos
. Substituindo na expressão do vetor:
Passo 5
Perceba que o vetor pode ser fatorado por
:
Isso significa que todo vetor desse subespaço é múltiplo escalar do vetor
.
Passo 6
Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Nesse caso, como todo vetor pode ser expresso como múltiplo de
, esse vetor sozinho já forma uma base.
Passo 7
A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como nossa base tem apenas um vetor, a dimensão do subespaço é 1.
Resposta
Uma base para o subespaço é
e a dimensão desse subespaço é 1.