Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de R^3 :
(x, y, z) in R^3 mid y=0 e x+z=0

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar uma base e a dimensão de um subespaço do espaço tridimensional R^3. O subespaço é definido pelas condições y = 0 e x + z = 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, sistemas de equações lineares e noções de subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa y = 0 e x + z = 0. A condição y = 0 nos diz que qualquer vetor nesse subespaço terá a segunda coordenada igual a zero. Já x + z = 0 relaciona as coordenadas x e z do vetor.

Passo 3

Vamos representar um vetor genérico desse subespaço como (x, 0, z). A gente sabe que x + z = 0, então podemos expressar uma das variáveis em termos da outra. Vamos isolar x:
x = -z

Passo 4

Agora, podemos escrever o vetor em função de uma única variável, digamos z. Substituindo na expressão do vetor:
(x, 0, z) = (-z, 0, z)

Passo 5

Perceba que o vetor pode ser fatorado por z:
(-z, 0, z) = z cdot (-1, 0, 1)
Isso significa que todo vetor desse subespaço é múltiplo escalar do vetor (-1, 0, 1).

Passo 6

Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Nesse caso, como todo vetor pode ser expresso como múltiplo de (-1, 0, 1), esse vetor sozinho já forma uma base.

Passo 7

A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como nossa base tem apenas um vetor, a dimensão do subespaço é 1.

Resposta

Uma base para o subespaço é , (-1, 0, 1) , e a dimensão desse subespaço é 1.

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