Nos ítens abaixo, o vetor está escrito na base . Reescreva-o na base V
(a) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um vetor na base e quer reescrevê-lo na base .
Matéria envolvida: Mudança de base em álgebra linear.
O que vamos precisar: Vectores das bases e , além de entender como transformar as coordenadas de uma base para outra usando combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que o vetor é uma combinação linear dos vetores da base :
onde:
Vamos calcular na base padrão (base canônica) somando essas combinações.

Passo 3

Vamos multiplicar cada vetor de pelos seus respectivos coeficientes e somar:
Calculando as multiplicações:
Agora, somamos esses resultados:
Então, na base padrão, .

Passo 4

Agora, queremos expressar na base :
Estamos buscando como combinação linear dos vetores de :
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes , e :
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
Primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Substituindo na expressão de :

Resposta

Portanto, as coordenadas de na base são:

Exercícios relacionados

a) Determine .
Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de :
e
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
é base do quando
Mostre que nem todo subgrupo é subanel.