Nos ítens abaixo, o vetor w está escrito na base U. Reescreva-o na base V
(a) w=(2,1,5)U U=(1,2,3),(2,1,0),(1,2,2), V=(2,2,1),(0,1,1),(1,1,1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um vetor na base e quer reescrevê-lo na base .
Matéria envolvida: Mudança de base em álgebra linear.
O que vamos precisar: Vectores das bases e , além de entender como transformar as coordenadas de uma base para outra usando combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa w = 2 cdot u1 + 1 cdot u2 + 5 cdot u3 . Isso quer dizer que o vetor U = u1, u2, u3 = (1,2,3), (2,1,0), (1,2,2) é uma combinação linear dos vetores da base :
onde:
Vamos calcular na base padrão (base canônica) somando essas combinações.

Passo 3

Vamos multiplicar cada vetor de w = 2 cdot (1, 2, 3) + 1 cdot (2, 1, 0) + 5 cdot (1, 2, 2) pelos seus respectivos coeficientes e somar:
2 cdot (1, 2, 3) = (2, 4, 6)
Calculando as multiplicações:
1 cdot (2, 1, 0) = (2, 1, 0)
5 cdot (1, 2, 2) = (5, 10, 10)
w = (2 + 2 + 5, 4 + 1 + 10, 6 + 0 + 10) = (9, 15, 16)
Agora, somamos esses resultados:
Então, na base padrão, .

Passo 4

Agora, queremos expressar V = v1, v2, v3 = (2,2,1), (0,1,1), (1,1,1) na base w = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 :
(9, 15, 16) = a cdot (2, 2, 1) + b cdot (0, 1, 1) + c cdot (1, 1, 1)
Estamos buscando como combinação linear dos vetores de :
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes 2a + 0b + 1c = 9 2a + 1b + 1c = 15 1a + 1b + 1c = 16 , e :
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
Primeira equação:
c = 9 - 2a
Substituindo 2a + b + (9 - 2a) = 15 implies b + 9 = 15 implies b = 6 na segunda equação:
a + 6 + (9 - 2a) = 16 implies -a + 15 = 16 implies -a = 1 implies a = -1
Agora, substituindo c = 9 - 2(-1) = 9 + 2 = 11 e na terceira equação:
Substituindo na expressão de :

Resposta

Portanto, as coordenadas de w = (-1, 6, 11)V na base são:

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