Nos ítens abaixo, o vetor
está escrito na base
. Reescreva-o na base V
(a)
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um vetor
na base
e quer reescrevê-lo na base
.
Matéria envolvida: Mudança de base em álgebra linear.
O que vamos precisar: Vectores das bases
e
, além de entender como transformar as coordenadas de uma base para outra usando combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que o vetor
é uma combinação linear dos vetores da base
:
onde:
Vamos calcular
na base padrão (base canônica) somando essas combinações.
Passo 3
Vamos multiplicar cada vetor de
pelos seus respectivos coeficientes e somar:
Calculando as multiplicações:
Agora, somamos esses resultados:
Então, na base padrão,
.
Passo 4
Agora, queremos expressar
na base
:
Estamos buscando
como combinação linear dos vetores de
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes
,
e
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver o sistema:
Primeira equação:
Substituindo
2a + b + (9 - 2a) = 15 implies b + 9 = 15 implies b = 6 na segunda equação:
Agora, substituindo
c = 9 - 2(-1) = 9 + 2 = 11 e
na terceira equação:
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
Portanto, as coordenadas de
w = (-1, 6, 11)V na base
são: