[T]beta^alpha=(cc 1 & 0 1 & 1 0 & -1 )
a) Determine T(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma matriz que representa uma transformação linear entre dois espaços vetoriais com bases específicas. Nosso objetivo é descobrir como essa transformação age sobre um vetor qualquer . Para isso, vamos precisar entender como multiplicar essa matriz pelo vetor e interpretar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que leva vetores de um espaço para outro, preservando as operações de adição e multiplicação por escalar. A matriz nos dá as “regras” dessa transformação em relação às bases e .

Passo 3

A matriz dada é:
[T]beta^alpha = (cc 1 & 0 1 & 1 0 & -1 )
Essa é uma matriz de , o que indica que nossa transformação leva vetores de para .

Passo 4

Para encontrar x y , precisamos multiplicar essa matriz pelo vetor . A multiplicação de matrizes funciona assim: cada elemento da linha da matriz é multiplicado pelo elemento correspondente do vetor e, depois, somamos esses produtos para cada posição.

Passo 5

Vamos fazer essa multiplicação passo a passo:
T(x, y) = [T]beta^alpha cdot x y = (cc 1 & 0 1 & 1 0 & -1 ) cdot x y = 1 cdot x + 0 cdot y 1 cdot x + 1 cdot y 0 cdot x + (-1) cdot y = x x + y - y

Resposta

A transformação T(x, y) = (,x,; x + y,; -y,) aplicada ao vetor resulta em:

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