a) Determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma matriz que representa uma transformação linear entre dois espaços vetoriais com bases específicas. Nosso objetivo é descobrir como essa transformação age sobre um vetor qualquer . Para isso, vamos precisar entender como multiplicar essa matriz pelo vetor e interpretar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que leva vetores de um espaço para outro, preservando as operações de adição e multiplicação por escalar. A matriz nos dá as “regras” dessa transformação em relação às bases e .

Passo 3

A matriz dada é:
Essa é uma matriz de , o que indica que nossa transformação leva vetores de para .

Passo 4

Para encontrar , precisamos multiplicar essa matriz pelo vetor . A multiplicação de matrizes funciona assim: cada elemento da linha da matriz é multiplicado pelo elemento correspondente do vetor e, depois, somamos esses produtos para cada posição.

Passo 5

Vamos fazer essa multiplicação passo a passo:

Resposta

A transformação aplicada ao vetor resulta em:

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Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de :
e
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(a)
Nos ítens abaixo, o vetor está escrito na base . Reescreva-o na base V
(a) ;
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
é base do quando