Seja F1=Lu1, v1 e F2=Lu2, v2 subespaços de R^3 gerados pelos vetores
u1=(0,1,-2), v1=(1,1,1), u2=(-1,0,3) e v2=(2,-1,0).
Calcule a1, b1, c1 e a2, b2, c2 tais que:
F1=(x, y, z) in R^3 / a1 x+b1 y+c1 z=0
F2=(x, y, z) in R^3 / a2 x+b2 y+c2 z=0

Passo 1

Beleza, a gente tem dois subespaços e em , cada um gerado por dois vetores. A parada é encontrar os coeficientes e que definem planos onde todos os vetores desses subespaços satisfazem as equações e . Vamos usar o produto vetorial para achar os normais desses planos, já que ele nos dá um vetor perpendicular aos vetores que geram o subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos em u1 times v1 = i & j & k 0 & 1 & -2 1 & 1 & 1 = i(1 cdot 1 - (-2) cdot 1) - j(0 cdot 1 - (-2) cdot 1) + k(0 cdot 1 - 1 cdot 1) = i(1 + 2) - j(0 + 2) + k(0 - 1) = 3i - 2j - k . Os vetores que geram são e . O produto vetorial vai nos dar o vetor normal .
Calculando:
Então, , , e .

Passo 3

Agora, vamos para u2 times v2 = i & j & k -1 & 0 & 3 2 & -1 & 0 = i(0 cdot 0 - 3 cdot (-1)) - j((-1) cdot 0 - 3 cdot 2) + k((-1) cdot (-1) - 0 cdot 2) = i(0 + 3) - j(0 - 6) + k(1 - 0) = 3i + 6j + 1k . Os vetores são e . Fazemos o produto vetorial para achar .
Calculando:
Então, , , e .

Resposta

Os coeficientes são:
a1 = 3, b1 = -2, c1 = -1
a2 = 3, b2 = 6, c2 = 1

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