Se A e B são matrizes de ordem m times n e c1 e c2 são escalares, mostre que:
a) (c1+c2) A=c1 A+c2 A
b) c(A+B)=c A+c B
c) c1(c2 A)=(c1 c2) A
d) 1 A=A,-1 A=-A, 0 A=0m times n

Passo 1

Beleza, vamos olhar o enunciado juntos. Temos duas matrizes, e , de tamanho , e dois números escalares, e . A gente precisa mostrar algumas propriedades envolvendo essas matrizes e escalares. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre operações com matrizes, como adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

a) (c1 + c2) A = c1 A + c2 A

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar uma matriz por um escalar. Multiplicar a matriz (c1 + c2) A = (c1 + c2) a11 & a12 & dots & a1n a21 & a22 & dots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots am1 & am2 & dots & amn = (c1 + c2)a11 & (c1 + c2)a12 & dots & (c1 + c2)a1n (c1 + c2)a21 & (c1 + c2)a22 & dots & (c1 + c2)a2n vdots & vdots & ddots & vdots (c1 + c2)am1 & (c1 + c2)am2 & dots & (c1 + c2)amn por um número c1 A + c2 A = c1 a11 & a12 & dots & a1n a21 & a22 & dots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots am1 & am2 & dots & amn + c2 a11 & a12 & dots & a1n a21 & a22 & dots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots am1 & am2 & dots & amn significa multiplicar cada elemento de = c1a11 & c1a12 & dots & c1a1n c1a21 & c1a22 & dots & c1a2n vdots & vdots & ddots & vdots c1am1 & c1am2 & dots & c1amn + c2a11 & c2a12 & dots & c2a1n c2a21 & c2a22 & dots & c2a2n vdots & vdots & ddots & vdots c2am1 & c2am2 & dots & c2amn por = (c1 + c2)a11 & (c1 + c2)a12 & dots & (c1 + c2)a1n (c1 + c2)a21 & (c1 + c2)a22 & dots & (c1 + c2)a2n vdots & vdots & ddots & vdots (c1 + c2)am1 & (c1 + c2)am2 & dots & (c1 + c2)amn .
Agora, queremos mostrar que:
(c1 + c2) A = c1 A + c2 A
Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Multiplicação do escalar pela matriz:
  2. Distribuindo os escalares:
  3. Comparando os dois resultados, vemos que são iguais:

Passo 3

b) A + B = a11 + b11 & a12 + b12 & dots & a1n + b1n a21 + b21 & a22 + b22 & dots & a2n + b2n vdots & vdots & ddots & vdots am1 + bm1 & am2 + bm2 & dots & amn + bmn

Aqui, queremos mostrar que multiplicar a soma de duas matrizes por um escalar é o mesmo que multiplicar cada matriz pelo escalar e depois somar.
  1. Calculando c(A + B) = c a11 + b11 & a12 + b12 & dots & a1n + b1n a21 + b21 & a22 + b22 & dots & a2n + b2n vdots & vdots & ddots & vdots am1 + bm1 & am2 + bm2 & dots & amn + bmn = c(a11 + b11) & c(a12 + b12) & dots & c(a1n + b1n) c(a21 + b21) & c(a22 + b22) & dots & c(a2n + b2n) vdots & vdots & ddots & vdots c(am1 + bm1) & c(am2 + bm2) & dots & c(amn + bmn) : c(aij + bij) = c aij + c bij
  2. Multiplicando o escalar c(A + B) = c a11 + c b11 & c a12 + c b12 & dots & c a1n + c b1n c a21 + c b21 & c a22 + c b22 & dots & c a2n + c b2n vdots & vdots & ddots & vdots c am1 + c bm1 & c am2 + c bm2 & dots & c amn + c bmn pela soma cA + cB = c a11 & c a12 & dots & c a1n c a21 & c a22 & dots & c a2n vdots & vdots & ddots & vdots c am1 & c am2 & dots & c amn + c b11 & c b12 & dots & c b1n c b21 & c b22 & dots & c b2n vdots & vdots & ddots & vdots c bm1 & c bm2 & dots & c bmn : = c a11 + c b11 & c a12 + c b12 & dots & c a1n + c b1n c a21 + c b21 & c a22 + c b22 & dots & c a2n + c b2n vdots & vdots & ddots & vdots c am1 + c bm1 & c am2 + c bm2 & dots & c amn + c bmn
  3. Distribuindo o escalar c(A + B) = cA + cB dentro de cada elemento: Então:
  4. Separando as matrizes:
  5. Concluindo que ambos os lados são iguais:

Passo 4

c) c2 A = c2 a11 & a12 & dots & a1n a21 & a22 & dots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots am1 & am2 & dots & amn = c2a11 & c2a12 & dots & c2a1n c2a21 & c2a22 & dots & c2a2n vdots & vdots & ddots & vdots c2am1 & c2am2 & dots & c2amn

Aqui, a ideia é mostrar que a ordem em que multiplicamos os escalares não altera o resultado final quando aplicados a uma matriz.
  1. Multiplicando c1(c2 A) = c1 c2a11 & c2a12 & dots & c2a1n c2a21 & c2a22 & dots & c2a2n vdots & vdots & ddots & vdots c2am1 & c2am2 & dots & c2amn = c1c2a11 & c1c2a12 & dots & c1c2a1n c1c2a21 & c1c2a22 & dots & c1c2a2n vdots & vdots & ddots & vdots c1c2am1 & c1c2am2 & dots & c1c2amn por (c1 c2) A = (c1 c2) a11 & a12 & dots & a1n a21 & a22 & dots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots am1 & am2 & dots & amn = c1c2a11 & c1c2a12 & dots & c1c2a1n c1c2a21 & c1c2a22 & dots & c1c2a2n vdots & vdots & ddots & vdots c1c2am1 & c1c2am2 & dots & c1c2amn primeiro: c1(c2 A) = (c1 c2) A
  2. Agora, multiplicando o resultado por :
  3. Multiplicando os escalares primeiro:
  4. Verificando que os dois lados são iguais:

Passo 5

d) 1 cdot A = 1 times a11 & a12 & dots & a1n a21 & a22 & dots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots am1 & am2 & dots & amn = 1 times a11 & 1 times a12 & dots & 1 times a1n 1 times a21 & 1 times a22 & dots & 1 times a2n vdots & vdots & ddots & vdots 1 times am1 & 1 times am2 & dots & 1 times amn = A , -1 cdot A = -1 times a11 & a12 & dots & a1n a21 & a22 & dots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots am1 & am2 & dots & amn = -a11 & -a12 & dots & -a1n -a21 & -a22 & dots & -a2n vdots & vdots & ddots & vdots -am1 & -am2 & dots & -amn = -A , 0 cdot A = 0 times a11 & a12 & dots & a1n a21 & a22 & dots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots am1 & am2 & dots & amn = 0 & 0 & dots & 0 0 & 0 & dots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & dots & 0 = 0m times n

Vamos mostrar cada uma dessas igualdades:
  1. Quando 1 cdot A = A, -1 cdot A = -A, 0 cdot A = 0m times n :
  2. Quando :
  3. Quando :
Assim, confirmamos que:

Resposta

Mostramos que todas as propriedades solicitadas são válidas:
a)
b)
c)
d) , ,

Exercícios relacionados