Determine uma base e a dimensão do subespaço das soluções do sistema linear homogêneo dado por:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse sistema linear juntos. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base e a dimensão do subespaço que representa todas as soluções desse sistema homogêneo. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, como sistemas de equações, matrizes e espaços vetoriais. Vamos precisar organizar o sistema em uma matriz e usar operações para simplificar e encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a realização de operações para resolver o sistema. A matriz aumentada fica assim:
Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essa matriz e encontrar as soluções. A ideia é transformar a matriz em uma forma mais simples, onde possamos identificar as variáveis livres e dependentes.
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1 (já está feito) e eliminar os elementos abaixo dele.
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento na segunda linha e segunda coluna seja 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 1 & 2 & 3 & 4 & | & 0 0 & 1 & 43 & 53 & | & 0 0 & -4 & -8 & -10 & | & 0 0 & -5 & -12 & -15 & | & 0 :
Linha2 = * Linha2
Passo 6
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo e acima do 1 na segunda coluna.