Determine uma base e a dimensão do subespaço S das soluções do sistema linear homogêneo dado por:
c x+2 y+3 z+4 t=0 2 x+y+2 z+3 t=0 3 x+2 y+z+2 t=0 4 x+3 y+t=0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse sistema linear juntos. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base e a dimensão do subespaço que representa todas as soluções desse sistema homogêneo. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, como sistemas de equações, matrizes e espaços vetoriais. Vamos precisar organizar o sistema em uma matriz e usar operações para simplificar e encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a realização de operações para resolver o sistema. A matriz aumentada fica assim:
1 & 2 & 3 & 4 & | & 0 2 & 1 & 2 & 3 & | & 0 3 & 2 & 1 & 2 & | & 0 4 & 3 & 0 & 1 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essa matriz e encontrar as soluções. A ideia é transformar a matriz em uma forma mais simples, onde possamos identificar as variáveis livres e dependentes.
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1 (já está feito) e eliminar os elementos abaixo dele.
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
1 & 2 & 3 & 4 & | & 0 0 & -3 & -4 & -5 & | & 0 3 & 2 & 1 & 2 & | & 0 4 & 3 & 0 & 1 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 3 da terceira linha e o 4 da quarta linha usando a primeira linha.
Para a terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha1
Para a quarta linha:
Linha4 = Linha4 - 4 * Linha1
Fazendo essas operações:
1 & 2 & 3 & 4 & | & 0 0 & -3 & -4 & -5 & | & 0 0 & -4 & -8 & -10 & | & 0 0 & -5 & -12 & -15 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento na segunda linha e segunda coluna seja 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 1 & 2 & 3 & 4 & | & 0 0 & 1 & 43 & 53 & | & 0 0 & -4 & -8 & -10 & | & 0 0 & -5 & -12 & -15 & | & 0 :
Linha2 = * Linha2

Passo 6

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo e acima do 1 na segunda coluna.
Para a primeira linha:
Linha1 = Linha1 - 2 * Linha2
Para a terceira linha:
Linha3 = Linha3 + 4 * Linha2
Para a quarta linha:
Linha4 = Linha4 + 5 * Linha2
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 0 & 13 & 23 & | & 0 0 & 1 & 43 & 53 & | & 0 0 & 0 & -43 & -53 & | & 0 0 & 0 & -83 & -103 & | & 0

Passo 7

Vamos simplificar a terceira linha. Multiplicamos a terceira linha por 1 & 0 & 13 & 23 & | & 0 0 & 1 & 43 & 53 & | & 0 0 & 0 & 1 & 54 & | & 0 0 & 0 & -83 & -103 & | & 0 para tornar o coeficiente de igual a 1:
Linha3 = * Linha3

Passo 8

Agora, vamos eliminar o coeficiente de 1 & 0 & 13 & 23 & | & 0 0 & 1 & 43 & 53 & | & 0 0 & 0 & 1 & 54 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 na quarta linha usando a terceira linha.
Linha4 = Linha4 + * Linha3

Passo 9

Agora, nossa matriz está na forma escalonada. Podemos escrever as equações correspondentes:
A quarta equação é , que não adiciona informação.

Passo 10

Vamos resolver a partir da última equação não trivial. Da equação 3:
Podemos expressar em função de :
Agora, substituímos na equação 2:
Simplificando:
Agora, substituímos na equação 1:
Simplificando:

Passo 11

Agora, expressamos todas as variáveis em termos de x y z t = t -14 0 -54 1 , que é a nossa variável livre:
Podemos escrever o vetor solução como:

$$

t
$$

Passo 12

Assim, o subespaço -14 0 -54 1 das soluções é gerado por esse vetor. Portanto, uma base para é:
A dimensão de é o número de vetores na base, que aqui é 1.

Resposta

Uma base para -14 0 -54 1 é e a dimensão de é 1.

Exercícios relacionados

Verifique se cada um dos seguintes conjuntos forma uma base de R^4. Justifique com argumentos matemáticos.
b) (1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)
Verifique se o operador linear dado é diagonalizável.
b. T: R^2 R^2, T(x, y, z)=(2 x, 2 y,-x+y+2 z).
Considere as matrizes:
A=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ), B=(cc -1 & 5 2 & 0 1 & 1 ), C=(ci j) in M2 times 2 e D=(dk j) in M3 times 2
onde ci j=2 i+j e dk j=3 k-j, 1 <= i, j <= 2 e 1 <= k <= 3. Se possível, calcule:
g) 13(A B+D).
Verifique se a matriz A=[cccc1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 2 & 1 1 & -1 & 1 & 0] é a inversa de B=[cccc1 & 1 & -1 & 1 1 & 0 & 0 & -1 0 & -1 & 1 & -1 -1 & 1 & 0 & 1], usando produto entre matrizes.