Verifique se a matriz A=[cccc1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 2 & 1 1 & -1 & 1 & 0] é a inversa de B=[cccc1 & 1 & -1 & 1 1 & 0 & 0 & -1 0 & -1 & 1 & -1 -1 & 1 & 0 & 1], usando produto entre matrizes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu duas matrizes, e , e quer saber se é a inversa de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e o que é uma matriz inversa. A ideia é multiplicar por e ver se o resultado é a matriz identidade, que é uma matriz especial onde os números da diagonal principal são 1 e os outros são 0.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como multiplicar duas matrizes. Se você tem duas matrizes, de tamanho e de tamanho , o produto será uma nova matriz de tamanho . Cada elemento dessa nova matriz é calculado multiplicando as linhas de pelas colunas de e somando os resultados.
No nosso caso, tanto quanto são matrizes , então o produto também será uma matriz .

Passo 3

Vamos multiplicar A = 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 2 & 1 1 & -1 & 1 & 0 por B = 1 & 1 & -1 & 1 1 & 0 & 0 & -1 0 & -1 & 1 & -1 -1 & 1 & 0 & 1 passo a passo. Vamos chamar de matriz , onde é o elemento na linha e coluna de .
A matriz é:
E a matriz é:

Passo 4

Vamos calcular cada elemento de (1 times 1) + (0 times 1) + (1 times 0) + (0 times -1) = 1 + 0 + 0 + 0 = 1 :
  • Elemento (1 times 1) + (0 times 0) + (1 times -1) + (0 times 1) = 1 + 0 -1 + 0 = 0 :
(1 times -1) + (0 times 0) + (1 times 1) + (0 times 0) = -1 + 0 +1 + 0 = 0
  • Elemento (1 times 1) + (0 times -1) + (1 times -1) + (0 times 1) = 1 + 0 -1 + 0 = 0 :
  • Elemento :
  • Elemento :

Passo 5

Continuando com a segunda linha de (0 times 1) + (1 times 1) + (0 times 0) + (1 times -1) = 0 + 1 + 0 -1 = 0 :
  • Elemento (0 times 1) + (1 times 0) + (0 times -1) + (1 times 1) = 0 + 0 + 0 +1 = 1 :
(0 times -1) + (1 times 0) + (0 times 1) + (1 times 0) = 0 +0 +0 +0 = 0
  • Elemento (0 times 1) + (1 times -1) + (0 times -1) + (1 times 1) = 0 -1 +0 +1 = 0 :
  • Elemento :
  • Elemento :

Passo 6

Agora, terceira linha de (1 times 1) + (0 times 1) + (2 times 0) + (1 times -1) = 1 +0 +0 -1 = 0 :
  • Elemento (1 times 1) + (0 times 0) + (2 times -1) + (1 times 1) = 1 +0 -2 +1 = 0 :
(1 times -1) + (0 times 0) + (2 times 1) + (1 times 0) = -1 +0 +2 +0 = 1
  • Elemento (1 times 1) + (0 times -1) + (2 times -1) + (1 times 1) = 1 +0 -2 +1 = 0 :
  • Elemento :
  • Elemento :

Passo 7

Por fim, quarta linha de (1 times 1) + (-1 times 1) + (1 times 0) + (0 times -1) = 1 -1 +0 +0 = 0 :
  • Elemento (1 times 1) + (-1 times 0) + (1 times -1) + (0 times 1) = 1 +0 -1 +0 = 0 :
(1 times -1) + (-1 times 0) + (1 times 1) + (0 times 0) = -1 +0 +1 +0 = 0
  • Elemento (1 times 1) + (-1 times -1) + (1 times -1) + (0 times 1) = 1 +1 -1 +0 = 1 :
  • Elemento :
  • Elemento :

Passo 8

Agora, juntando todos os elementos calculados, a matriz C = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 fica assim:
Essa é exatamente a matriz identidade !

Resposta

Sim, a matriz é a inversa de , já que o produto resulta na matriz identidade.

Exercícios relacionados

Considere as matrizes:
A=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ), B=(cc -1 & 5 2 & 0 1 & 1 ), C=(ci j) in M2 times 2 e D=(dk j) in M3 times 2
onde ci j=2 i+j e dk j=3 k-j, 1 <= i, j <= 2 e 1 <= k <= 3. Se possível, calcule:
g) 13(A B+D).
Determine uma base e a dimensão do subespaço S das soluções do sistema linear homogêneo dado por:
c x+2 y+3 z+4 t=0 2 x+y+2 z+3 t=0 3 x+2 y+z+2 t=0 4 x+3 y+t=0
Seja
M=(cc 0 & -1 1 & 0 )
Encontre todas as matrizes A, quadradas reais de ordem 2, tais que A M=M A.
Considere as matrizes
A=[cc 1 & -2 3 & 1 7 & -4 5 & 9 ], B=[cccc 1 & 3 & -5 & 7 6 & 2 & -8 & 3 ] e C=[cccc 1 & 7 & 3 & -8 -3 & -1 & -1 & -3 4 & 1 & 9 & 0 5 & 3 & 2 & -3 ]
Calcular A B.