Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base e a dimensão do subespaço vetorial
. A matéria envolvida aqui é a álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais, bases e dimensões. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e parametrização de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse conjunto
consiste em todos os vetores de 4 componentes
que satisfazem a equação linear
. Basicamente, estamos lidando com um sistema linear com uma única equação e quatro variáveis.
Passo 3
Para achar uma base de
, precisamos encontrar as soluções gerais dessa equação. Como temos mais variáveis do que equações, vamos parametrizar as soluções expressando algumas variáveis em termos de outras (chamamos essas variáveis de variáveis livres).
Passo 4
Vamos reescrever a equação
para isolar uma das variáveis. Por exemplo, podemos isolar
:
Agora, as variáveis
,
e
serão nossas variáveis livres. Vamos atribuir parâmetros a elas:
onde
são parâmetros reais.
Passo 5
Substituindo esses parâmetros na expressão de
, temos:
Assim, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Podemos separar isso em termos dos parâmetros:
Isso mostra que qualquer vetor em
é uma combinação linear dos vetores
,
e
.
Passo 6
Agora, para formar uma base de
, precisamos desses vetores serem linearmente independentes. Vamos verificar isso. Observamos que nenhum desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros, então eles são linearmente independentes.
Passo 7
Como encontramos três vetores linearmente independentes que geram
, a dimensão de
é 3. A dimensão é basicamente o número de vetores na base, que nesse caso é 3.
Resposta
Uma base para
é composta pelos vetores
,
e
. A dimensão de
é 3.
Exercícios relacionados
Encontre uma base do requinte subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2 .
Mostre que se
e
são auto-vetores de uma transformação linear associados a
, então
é também um auto-vetor associado ao mesmo
.
Encontre uma base para os seguintes subespaços de
(espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3)
(a) ;
(b)
© ;
(d) .
(a)
(b)
©
(d)