Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais: W=(x, y, z, t) in R^4 / x-y+t+z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base e a dimensão do subespaço vetorial . A matéria envolvida aqui é a álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais, bases e dimensões. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e parametrização de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Esse conjunto consiste em todos os vetores de 4 componentes que satisfazem a equação linear . Basicamente, estamos lidando com um sistema linear com uma única equação e quatro variáveis.

Passo 3

Para achar uma base de , precisamos encontrar as soluções gerais dessa equação. Como temos mais variáveis do que equações, vamos parametrizar as soluções expressando algumas variáveis em termos de outras (chamamos essas variáveis de variáveis livres).

Passo 4

Vamos reescrever a equação x = y - t - z para isolar uma das variáveis. Por exemplo, podemos isolar y = a, z = b, t = c :
Agora, as variáveis , e serão nossas variáveis livres. Vamos atribuir parâmetros a elas:
onde são parâmetros reais.

Passo 5

Substituindo esses parâmetros na expressão de x = a - c - b , temos:
(x, y, z, t) = (a - c - b, a, b, c)
Assim, qualquer vetor em = a(1, 1, 0, 0) + b(-1, 0, 1, 0) + c(-1, 0, 0, 1) pode ser escrito como:
Podemos separar isso em termos dos parâmetros:
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores , e .

Passo 6

Agora, para formar uma base de , precisamos desses vetores serem linearmente independentes. Vamos verificar isso. Observamos que nenhum desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros, então eles são linearmente independentes.

Passo 7

Como encontramos três vetores linearmente independentes que geram , a dimensão de é 3. A dimensão é basicamente o número de vetores na base, que nesse caso é 3.

Resposta

Uma base para é composta pelos vetores , e . A dimensão de é 3.

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