Encontre bases para os subespaços
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Encontre bases para os subespaços
Quais são as dimensões dos subespaços
e
? Ache um vetor
.
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Encontre bases para os subespaços
Quais são as dimensões dos subespaços
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois subespaços
e
de
, definidos por equações lineares. Nosso objetivo é encontrar bases para esses subespaços, descobrir as dimensões deles e encontrar um vetor que pertença à interseção
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, bases de subespaços e interseção de subespaços. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um subespaço. Em
, um subespaço pode ser uma reta, um plano ou todo o espaço. As equações que definem
e
são equações lineares, então cada um deles provavelmente representa um plano.
Para encontrar uma base de um subespaço, precisamos encontrar um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que “geram” todo o subespaço. Vamos começar com
.
A equação de
é:
Para encontrar uma base, vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos, por exemplo, resolver para
:
Agora, podemos escrever um vetor em
em termos de
e
:
Portanto, uma base para
é:
Passo 3
Vamos agora determinar a dimensão de
. A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como encontramos duas vetores na base de
, a dimensão de
é 2. Isso faz sentido porque
é um plano em
, e planos têm dimensão 2.
Agora, vamos fazer o mesmo para
. A equação de
é:
Vamos resolver para
:
Escrevendo um vetor em
em termos de
e
:
Então, uma base para
é:
Passo 4
A dimensão de
também é 2, já que temos dois vetores na sua base. Novamente, isso confirma que
é um plano em
.
Agora, precisamos encontrar um vetor que esteja na interseção de
e
, ou seja, um vetor que satisfaça ambas as equações:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar valores de
,
e
que funcionem para ambas.
Passo 5
Vamos usar o método da substituição ou da eliminação. Vou optar pela eliminação. Primeiro, vamos multiplicar a primeira equação por 3 e a segunda por 2 para facilitar a eliminação de
:
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos
na primeira equação original:
Então, todos os vetores na interseção podem ser escritos em termos de
:
Isso significa que qualquer múltiplo de
está na interseção
.
Resposta
Uma base para
é
e para
é
. As dimensões de
e
são 2 cada. Um vetor na interseção
é
.
Exercícios relacionados
Encontre uma base para os seguintes subespaços de
(espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3)
(a) ;
(b)
© ;
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais:
Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em
:
© .
©
Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em
:
(d) .
(d)