Encontre bases para os subespaços
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Encontre bases para os subespaços W1=(x, y, z) in R^3 / 2 x-3 y+4 z=0 e W2=(x, y, z) in R^3 / 3 x+2 y-5 z=0
Quais são as dimensões dos subespaços W1 e W2 ? Ache um vetor v in W1 cap W2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois subespaços e de , definidos por equações lineares. Nosso objetivo é encontrar bases para esses subespaços, descobrir as dimensões deles e encontrar um vetor que pertença à interseção .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, bases de subespaços e interseção de subespaços. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um subespaço. Em 2x - 3y + 4z = 0 , um subespaço pode ser uma reta, um plano ou todo o espaço. As equações que definem 2x = 3y - 4z implies x = 32y - 2z e (x, y, z) = ( 32y - 2z, y, z ) = y ( 32, 1, 0 ) + z ( -2, 0, 1 ) são equações lineares, então cada um deles provavelmente representa um plano.
Para encontrar uma base de um subespaço, precisamos encontrar um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que “geram” todo o subespaço. Vamos começar com ( 32, 1, 0 ), ( -2, 0, 1 ) .
A equação de é:
Para encontrar uma base, vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos, por exemplo, resolver para :
Agora, podemos escrever um vetor em em termos de e :
Portanto, uma base para é:

Passo 3

Vamos agora determinar a dimensão de 3x + 2y - 5z = 0 . A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como encontramos duas vetores na base de 3x = -2y + 5z implies x = -23y + 53z , a dimensão de (x, y, z) = ( -23y + 53z, y, z ) = y ( -23, 1, 0 ) + z ( 53, 0, 1 ) é 2. Isso faz sentido porque ( -23, 1, 0 ), ( 53, 0, 1 ) é um plano em , e planos têm dimensão 2.
Agora, vamos fazer o mesmo para . A equação de é:
Vamos resolver para :
Escrevendo um vetor em em termos de e :
Então, uma base para é:

Passo 4

A dimensão de 2x - 3y + 4z = 0 3x + 2y - 5z = 0 também é 2, já que temos dois vetores na sua base. Novamente, isso confirma que é um plano em .
Agora, precisamos encontrar um vetor que esteja na interseção de e , ou seja, um vetor que satisfaça ambas as equações:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar valores de , e que funcionem para ambas.

Passo 5

Vamos usar o método da substituição ou da eliminação. Vou optar pela eliminação. Primeiro, vamos multiplicar a primeira equação por 3 e a segunda por 2 para facilitar a eliminação de 6x - 9y + 12z = 0 6x + 4y - 10z = 0 :
(6x - 9y + 12z) - (6x + 4y - 10z) = 0 -13y + 22z = 0 implies 13y = 22z implies y = 2213z
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira:
2x - 3( 2213z ) + 4z = 0 2x - 6613z + 4z = 0 2x + ( -6613 + 5213 ) z = 0 2x - 1413z = 0 implies 2x = 1413z implies x = 713z
Agora, substituímos (x, y, z) = ( 713z, 2213z, z ) = z ( 713, 2213, 1 ) na primeira equação original:
Então, todos os vetores na interseção podem ser escritos em termos de :
Isso significa que qualquer múltiplo de está na interseção .

Resposta

Uma base para é e para é . As dimensões de e são 2 cada. Um vetor na interseção é .

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(a) p(x) in P3: p(7)=0;
(b) p(x) in P3: p(7)=0, p(5)=0
© p(x) in P3: p(7)=0, p(5)=0, p(3)=0;
(d) p(x) in P3: p(7)=0, p(5)=0, p(3)=0, p(1)=0.
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© V=R^3, x=(x1, x2, x3), y=(y1, y2, y3), lang<= x, yrang<==x1^2 y1^2+x2^2 y2^2+x3^2 y3^2.
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(d) V=P2(R), lang<= p, qrang<==integral-1^1 p^prime(x) q^prime(x) d x.