Encontre uma base do requinte subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base de um subespaço formado por polinômios de grau menor ou igual a 2. Mais especificamente, estamos trabalhando com polinômios do tipo , onde há uma condição: . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais e bases, mas vou explicar conforme a gente for andando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa condição . Ela relaciona os coeficientes do polinômio. Então, podemos expressar em termos de e :
Isso simplifica nosso polinômio para:

Passo 3

Agora, vamos reescrever esse polinômio destacando e como fatores:
Aqui, vimos que o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Passo 4

Para formar uma base desse subespaço, precisamos de polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço. Olhando para a expressão acima, percebemos que e são esses polinômios.

Passo 5

Vamos verificar a independência linear rapidamente. Se tivéssemos , isso implicaria que e , confirmando que são independentes.

Resposta

Uma base do subespaço é .

Exercícios relacionados

Mostre que se e são auto-vetores de uma transformação linear associados a , então é também um auto-vetor associado ao mesmo .
Encontre uma base do requinte subespaço das matrizes .
Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais:
Encontre uma base para os seguintes subespaços de (espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3)
(a) ;
(b)
© ;
(d) .