Encontre uma base do requinte subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base de um subespaço formado por polinômios de grau menor ou igual a 2. Mais especificamente, estamos trabalhando com polinômios do tipo
, onde há uma condição:
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais e bases, mas vou explicar conforme a gente for andando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa condição
. Ela relaciona os coeficientes do polinômio. Então, podemos expressar
em termos de
e
:
Isso simplifica nosso polinômio para:
Passo 3
Agora, vamos reescrever esse polinômio destacando
e
como fatores:
Aqui, vimos que o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear de
e
.
Passo 4
Para formar uma base desse subespaço, precisamos de polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço. Olhando para a expressão acima, percebemos que
e
são esses polinômios.
Passo 5
Vamos verificar a independência linear rapidamente. Se tivéssemos
, isso implicaria que
e
, confirmando que são independentes.
Resposta
Uma base do subespaço é
.
Exercícios relacionados
Mostre que se
e
são auto-vetores de uma transformação linear associados a
, então
é também um auto-vetor associado ao mesmo
.
Encontre uma base do requinte subespaço das matrizes
.
Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais:
Encontre uma base para os seguintes subespaços de
(espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3)
(a) ;
(b)
© ;
(d) .
(a)
(b)
©
(d)