Encontre uma base do requinte subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2 .
a2 x^2+a1 x+a0: a2-2 a1=a0 subset P2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base de um subespaço formado por polinômios de grau menor ou igual a 2. Mais especificamente, estamos trabalhando com polinômios do tipo , onde há uma condição: . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais e bases, mas vou explicar conforme a gente for andando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa condição a0 = a2 - 2a1 . Ela relaciona os coeficientes do polinômio. Então, podemos expressar a2x^2 + a1x + (a2 - 2a1) em termos de e :
Isso simplifica nosso polinômio para:

Passo 3

Agora, vamos reescrever esse polinômio destacando a2(x^2 + 1) + a1(x - 2) e como fatores:
Aqui, vimos que o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Passo 4

Para formar uma base desse subespaço, precisamos de polinômios que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço. Olhando para a expressão acima, percebemos que e são esses polinômios.

Passo 5

Vamos verificar a independência linear rapidamente. Se tivéssemos , isso implicaria que e , confirmando que são independentes.

Resposta

Uma base do subespaço é .

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