Encontre uma base para os seguintes subespaços de
(espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3)
(a)
;
(b)
©
;
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base para diferentes subespaços de
, que é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3. Cada subespaço é definido por polinômios que têm zeros em certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa que um polinômio tem um zero em um ponto específico e como construir uma base para esses subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a):
.
Quando um polinômio
tem um zero em
, significa que
é um fator de
. Como estamos trabalhando em
, o grau máximo do polinômio é 3. Então, podemos escrever qualquer polinômio desse subespaço na forma:
onde
é um polinômio de grau no máximo 2 (porque multiplicando por
, que é de grau 1, o grau total será no máximo 3).
Agora, vamos construir uma base para esse subespaço. Precisamos de polinômios que gerem todos os possíveis
nesse subespaço e que sejam linearmente independentes. Como
tem grau no máximo 2, podemos escolher uma base para os polinômios de grau ≤2, que é
. Multiplicando cada um por
, obtemos:
Portanto, essa é uma base para o subespaço definido em (a).
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b):
.
Aqui, o polinômio
tem zeros em
e
. Isso significa que ambos
e
são fatores de
. Podemos escrever:
onde
é um polinômio de grau no máximo 1 (porque multiplicando por dois fatores de grau 1, o grau total será no máximo 3).
Para construir a base, consideramos os polinômios de grau ≤1, que são
. Multiplicando cada um por
, temos:
Então, essa é uma base para o subespaço definido em (b).
Passo 4
Vamos para a parte ©:
.
Agora, o polinômio
tem zeros em
,
e
. Assim,
,
e
são fatores de
. Podemos escrever:
onde
é um polinômio de grau no máximo 0, ou seja, uma constante
.
Portanto, todo polinômio desse subespaço pode ser escrito como:
A base para esse subespaço é simplesmente:
Passo 5
Finalmente, vamos para a parte (d):
.
Aqui, o polinômio
teria zeros em
,
,
e
. Isso implicaria que:
No entanto, como estamos trabalhando em
, o grau máximo do polinômio
é 3. A expressão acima envolve já um polinômio de grau 4, o que excede o limite permitido. Portanto, o único polinômio que satisfaz todas essas condições é o polinômio nulo:
Portanto, o subespaço definido em (d) contém apenas o polinômio zero, e sua base é o conjunto vazio ou apenas o zero.
Resposta
a) A base é
.
b) A base é
.
c) A base é
.
d) O único polinômio é o zero, então a base é o conjunto vazio ou
.