Encontre uma base para os seguintes subespaços de P3 (espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3)
(a) p(x) in P3: p(7)=0;
(b) p(x) in P3: p(7)=0, p(5)=0
© p(x) in P3: p(7)=0, p(5)=0, p(3)=0;
(d) p(x) in P3: p(7)=0, p(5)=0, p(3)=0, p(1)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base para diferentes subespaços de P3, que é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3. Cada subespaço é definido por polinômios que têm zeros em certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa que um polinômio tem um zero em um ponto específico e como construir uma base para esses subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a): p(x) in P3: p(7)=0.
Quando um polinômio p(x) tem um zero em x=7, significa que (x - 7) é um fator de p(x). Como estamos trabalhando em P3, o grau máximo do polinômio é 3. Então, podemos escrever qualquer polinômio desse subespaço na forma:
p(x) = (x - 7)q(x)
onde q(x) é um polinômio de grau no máximo 2 (porque multiplicando por (x - 7), que é de grau 1, o grau total será no máximo 3).
Agora, vamos construir uma base para esse subespaço. Precisamos de polinômios que gerem todos os possíveis p(x) nesse subespaço e que sejam linearmente independentes. Como q(x) tem grau no máximo 2, podemos escolher uma base para os polinômios de grau ≤2, que é 1, x, x^2. Multiplicando cada um por (x - 7), obtemos:
(x - 7), (x - 7)x, (x - 7)x^2
Portanto, essa é uma base para o subespaço definido em (a).

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): p(x) in P3: p(7)=0, p(5)=0.
Aqui, o polinômio p(x) tem zeros em x=7 e x=5. Isso significa que ambos (x - 7) e (x - 5) são fatores de p(x). Podemos escrever:
p(x) = (x - 7)(x - 5)q(x)
onde q(x) é um polinômio de grau no máximo 1 (porque multiplicando por dois fatores de grau 1, o grau total será no máximo 3).
Para construir a base, consideramos os polinômios de grau ≤1, que são 1, x. Multiplicando cada um por (x - 7)(x - 5), temos:
(x - 7)(x - 5), (x - 7)(x - 5)x
Então, essa é uma base para o subespaço definido em (b).

Passo 4

Vamos para a parte ©: p(x) in P3: p(7)=0, p(5)=0, p(3)=0.
Agora, o polinômio p(x) tem zeros em x=7, x=5 e x=3. Assim, (x - 7), (x - 5) e (x - 3) são fatores de p(x). Podemos escrever:
p(x) = (x - 7)(x - 5)(x - 3)q(x)
onde q(x) é um polinômio de grau no máximo 0, ou seja, uma constante k.
Portanto, todo polinômio desse subespaço pode ser escrito como:
p(x) = k(x - 7)(x - 5)(x - 3)
A base para esse subespaço é simplesmente:
(x - 7)(x - 5)(x - 3)

Passo 5

Finalmente, vamos para a parte (d): p(x) in P3: p(7)=0, p(5)=0, p(3)=0, p(1)=0.
Aqui, o polinômio p(x) teria zeros em x=7, x=5, x=3 e x=1. Isso implicaria que:
p(x) = (x - 7)(x - 5)(x - 3)(x - 1)q(x)
No entanto, como estamos trabalhando em P3, o grau máximo do polinômio p(x) é 3. A expressão acima envolve já um polinômio de grau 4, o que excede o limite permitido. Portanto, o único polinômio que satisfaz todas essas condições é o polinômio nulo:
p(x) = 0
Portanto, o subespaço definido em (d) contém apenas o polinômio zero, e sua base é o conjunto vazio ou apenas o zero.

Resposta

a) A base é ,x - 7, x(x - 7), x^2(x - 7),.
b) A base é , (x - 7)(x - 5), x(x - 7)(x - 5),.
c) A base é , (x - 7)(x - 5)(x - 3) ,.
d) O único polinômio é o zero, então a base é o conjunto vazio ou 0.

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