Determine uma base e a dimensão de V, descrito por:
V=(x, y, z, w) in R^4 mid x-y=w, x-3 y+w=0

Passo 1

Entendendo o problema:
Temos que encontrar uma base e a dimensão do conjunto V = (x, y, z, w) in R^4 mid x - y = w, x - 3 y + w = 0 definido por:
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente o estudo de subespaços vetoriais, sistemas lineares e bases.
O que vamos precisar:
  • Resolver um sistema de equações lineares.
  • Identificar variáveis livres e expressar as demais em função delas.
  • Determinar vetores que formem uma base para o subespaço .
  • Calcular a dimensão de .

Passo 2

Escrevendo o sistema de equações:
Temos duas equações com quatro variáveis ( x - y = w (1) x - 3y + w = 0 (2) ):

Passo 3

Resolvendo o sistema de equações:
Primeiro, vamos isolar uma variável. Da equação (1):
x = y + w (3)
Agora, substituímos (y + w) - 3y + w = 0 da equação (3) na equação (2):
y + w - 3y + w = 0 -2y + 2w = 0 -2y = -2w y = w (4)
Simplificando:

Passo 4

Expressando as variáveis em termos das livres:
Observando as equações (3) e (4), temos:
x = y + w = w + w = 2w
A variável w = s (com s in R ) z = t (com t in R ) não está presente nas equações, então ela pode ser livre, ou seja, x = 2s y = s z = t w = s pode assumir qualquer valor real.
Então, podemos definir:
Substituindo:

Passo 5

Escrevendo em forma vetorial:
O vetor (x, y, z, w) = (2s, s, t, s) = s cdot (2, 1, 0, 1) + t cdot (0, 0, 1, 0) pode ser escrito como:
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 6

Determinação da base e da dimensão:
Base: Um conjunto de vetores que gera o espaço e que são linearmente independentes. Aqui, os vetores e satisfazem esses critérios.
Dimensão: É o número de vetores na base. Como temos dois vetores na base, a dimensão de é 2.

Resposta

Base de , (2, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0) , :
Dimensão de : 2

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