Determine uma base e a dimensão de V, descrito por:
Passo 1
**Entendendo o problema:**
Temos que encontrar uma base e a dimensão do conjunto definido por:
**Matéria envolvida:** Álgebra Linear, especificamente o estudo de subespaços vetoriais, sistemas lineares e bases.
**O que vamos precisar:**
- Resolver um sistema de equações lineares.
- Identificar variáveis livres e expressar as demais em função delas.
- Determinar vetores que formem uma base para o subespaço .
- Calcular a dimensão de .
Passo 2
**Escrevendo o sistema de equações:**
Temos duas equações com quatro variáveis ():
Passo 3
**Resolvendo o sistema de equações:**
Primeiro, vamos isolar uma variável. Da equação (1):
Agora, substituímos da equação (3) na equação (2):
Simplificando:
Passo 4
**Expressando as variáveis em termos das livres:**
Observando as equações (3) e (4), temos:
A variável não está presente nas equações, então ela pode ser livre, ou seja, pode assumir qualquer valor real.
Então, podemos definir:
Substituindo:
Passo 5
**Escrevendo em forma vetorial:**
O vetor pode ser escrito como:
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores e .
Passo 6
**Determinação da base e da dimensão:**
**Base:** Um conjunto de vetores que gera o espaço e que são linearmente independentes. Aqui, os vetores e satisfazem esses critérios.
**Dimensão:** É o número de vetores na base. Como temos dois vetores na base, a dimensão de é 2.