Determine uma base e a dimensão de V, descrito por:

Passo 1

**Entendendo o problema:** Temos que encontrar uma base e a dimensão do conjunto definido por: **Matéria envolvida:** Álgebra Linear, especificamente o estudo de subespaços vetoriais, sistemas lineares e bases. **O que vamos precisar:** - Resolver um sistema de equações lineares. - Identificar variáveis livres e expressar as demais em função delas. - Determinar vetores que formem uma base para o subespaço . - Calcular a dimensão de .

Passo 2

**Escrevendo o sistema de equações:** Temos duas equações com quatro variáveis ():

Passo 3

**Resolvendo o sistema de equações:** Primeiro, vamos isolar uma variável. Da equação (1): Agora, substituímos da equação (3) na equação (2): Simplificando:

Passo 4

**Expressando as variáveis em termos das livres:** Observando as equações (3) e (4), temos: A variável não está presente nas equações, então ela pode ser livre, ou seja, pode assumir qualquer valor real. Então, podemos definir: Substituindo:

Passo 5

**Escrevendo em forma vetorial:** O vetor pode ser escrito como: Isso mostra que qualquer vetor em pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 6

**Determinação da base e da dimensão:** **Base:** Um conjunto de vetores que gera o espaço e que são linearmente independentes. Aqui, os vetores e satisfazem esses critérios. **Dimensão:** É o número de vetores na base. Como temos dois vetores na base, a dimensão de é 2.

Resposta

**Base de :** **Dimensão de :** 2

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Seja o operador linear dado por e considere as bases ordenadas e de . Obtenha a matriz de em relação à base ordenada .
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