Determine uma base e a dimensão de V, descrito por:
Passo 1
Entendendo o problema:
Temos que encontrar uma base e a dimensão do conjunto
definido por:
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente o estudo de subespaços vetoriais, sistemas lineares e bases.
O que vamos precisar:
- Resolver um sistema de equações lineares.
- Identificar variáveis livres e expressar as demais em função delas.
- Determinar vetores que formem uma base para o subespaço
. - Calcular a dimensão de
.
Passo 2
Escrevendo o sistema de equações:
Temos duas equações com quatro variáveis (
):
Passo 3
Resolvendo o sistema de equações:
Primeiro, vamos isolar uma variável. Da equação (1):
Agora, substituímos
da equação (3) na equação (2):
Simplificando:
Passo 4
Expressando as variáveis em termos das livres:
Observando as equações (3) e (4), temos:
A variável
não está presente nas equações, então ela pode ser livre, ou seja,
pode assumir qualquer valor real.
Então, podemos definir:
Substituindo:
Passo 5
Escrevendo em forma vetorial:
O vetor
pode ser escrito como:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 6
Determinação da base e da dimensão:
Base: Um conjunto de vetores que gera o espaço e que são linearmente independentes. Aqui, os vetores
e
satisfazem esses critérios.
Dimensão: É o número de vetores na base. Como temos dois vetores na base, a dimensão de
é 2.
Resposta
Base de
:
Dimensão de
: 2