Sejam
e
dois subconjuntos do
.
Encontre um conjunto de geradores para
e
. Qual é a dimensão de
e
?
Encontre um conjunto de geradores para
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de álgebra linear onde nos dão dois conjuntos,
e
, definidos no espaço tridimensional
. A tarefa é encontrar um conjunto de vetores que gerem cada um desses subconjuntos e também descobrir a dimensão de cada um. Vamos precisar usar conceitos como espaços vetoriais, bases e dimensões para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para
. Isso significa que, em qualquer vetor desse conjunto, as componentes
e
são iguais e a componente
é sempre zero. Então, podemos representar qualquer vetor de
como
, onde
é um número real.
Passo 3
Para encontrar um conjunto de geradores (ou base) para
, queremos expressar qualquer vetor de
como uma combinação linear de certos vetores fixos. Observando que
, vemos que todo vetor em
é múltiplo do vetor
. Portanto, o conjunto
gera
.
Passo 4
Agora, vamos para
. Aqui, a componente
é o negativo de
, mas não há restrição sobre
. Podemos expressar qualquer vetor de
como
, onde
e
são números reais.
Passo 5
Para encontrar a base de
, queremos escrever
como uma combinação linear de vetores fixos. Podemos dividir isso em duas partes:
. Assim, qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação desses dois vetores. Portanto,
gera
.
Passo 6
Finalmente, para determinar a dimensão de cada conjunto, contamos quantos vetores existem na base. Para
, temos apenas 1 vetor na base, então a dimensão de
é 1. Para
, temos 2 vetores na base, então a dimensão de
é 2.
Resposta
Um conjunto de geradores para
é
e para
é
. A dimensão de
é 1 e a dimensão de
é 2.