Sejam S1=(x, y, z) ; x=y, z=0 e S2=(x, y, z) ; x=-y dois subconjuntos do R^3.
Encontre um conjunto de geradores para S1 e S2. Qual é a dimensão de S1 e S2 ?

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de álgebra linear onde nos dão dois conjuntos, e , definidos no espaço tridimensional . A tarefa é encontrar um conjunto de vetores que gerem cada um desses subconjuntos e também descobrir a dimensão de cada um. Vamos precisar usar conceitos como espaços vetoriais, bases e dimensões para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para . Isso significa que, em qualquer vetor desse conjunto, as componentes e são iguais e a componente é sempre zero. Então, podemos representar qualquer vetor de como , onde é um número real.

Passo 3

Para encontrar um conjunto de geradores (ou base) para , queremos expressar qualquer vetor de como uma combinação linear de certos vetores fixos. Observando que , vemos que todo vetor em é múltiplo do vetor . Portanto, o conjunto gera .

Passo 4

Agora, vamos para . Aqui, a componente é o negativo de , mas não há restrição sobre . Podemos expressar qualquer vetor de como , onde e são números reais.

Passo 5

Para encontrar a base de , queremos escrever como uma combinação linear de vetores fixos. Podemos dividir isso em duas partes: . Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação desses dois vetores. Portanto, gera .

Passo 6

Finalmente, para determinar a dimensão de cada conjunto, contamos quantos vetores existem na base. Para , temos apenas 1 vetor na base, então a dimensão de é 1. Para , temos 2 vetores na base, então a dimensão de é 2.

Resposta

Um conjunto de geradores para é e para é . A dimensão de é 1 e a dimensão de é 2.

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