Seja T: C^2 C^2 o operador linear dado por T(x, y)=(x, 0) e considere as bases ordenadas alpha=(1,0),(0,1) e beta=(1, i),(-i, 2) de C^2.
Obtenha a matriz de T em relação à base ordenada (-i, 2),(1, i).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um operador linear definido por . Além disso, estamos trabalhando com duas bases ordenadas: a base padrão e a base de . O que precisamos fazer é encontrar a matriz de em relação à base ordenada .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de um operador linear em relação a uma base é obtida aplicando a cada vetor da base e expressando o resultado como uma combinação linear dos vetores de .

Passo 3

Vamos identificar os vetores da base v1 = (1, i) :
v2 = (-i, 2)
Precisamos calcular e .

Passo 4

Aplicando T(v1) = T(1, i) = (1, 0) aos vetores de T(v2) = T(-i, 2) = (-i, 0) :

Passo 5

Agora, vamos expressar T(v1) = a cdot v1 + b cdot v2 e (1, 0) = a(1, i) + b(-i, 2) como combinações lineares dos vetores da base a - b i = 1 a i + 2b = 0 .
Primeiro, encontramos coeficientes e tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
a i + 2b = 0
a = -2bi = 2b i
Substituindo na primeira equação:
2b i - b i = 1
b i = 1
b = 1i = -i
Então:
a = 2b i = 2(-i)i = 2(-i^2) = 2
Portanto:
T(v1) = 2 v1 - i v2

Passo 7

Agora, fazemos o mesmo para T(v2) = (-i, 0) :
(-i, 0) = c(1, i) + d(-i, 2)
Procuramos coeficientes c - d i = -i c i + 2d = 0 e tais que:
Isso nos dá:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
c - d i = -i
c = d i - i
Da segunda equação:
(d i - i)i + 2d = 0
d i^2 - i^2 + 2d = 0
-d - (-1) + 2d = 0
-d + 1 + 2d = 0
d + 1 = 0
d = -1
Então:
c = (-1) i - i = -i - i = -2i
Portanto:
T(v2) = -2i v1 - v2

Passo 9

Agora, podemos montar a matriz de [T]beta = 2 & -2i -i & -1 na base . Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes obtidos nas combinações lineares:

Resposta

A matriz de [T]beta = 2 & -2i -i & -1 em relação à base ordenada é

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