Seja o operador linear dado por e considere as bases ordenadas e de .
Obtenha a matriz de em relação à base ordenada .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um operador linear definido por . Além disso, estamos trabalhando com duas bases ordenadas: a base padrão e a base de . O que precisamos fazer é encontrar a matriz de em relação à base ordenada .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz de um operador linear em relação a uma base é obtida aplicando a cada vetor da base e expressando o resultado como uma combinação linear dos vetores de .
Passo 3
Vamos identificar os vetores da base :
Precisamos calcular e .
Passo 4
Aplicando aos vetores de :
Passo 5
Agora, vamos expressar e como combinações lineares dos vetores da base .
Primeiro, encontramos coeficientes e tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto:
Passo 7
Agora, fazemos o mesmo para :
Procuramos coeficientes e tais que:
Isso nos dá:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então:
Portanto:
Passo 9
Agora, podemos montar a matriz de na base . Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes obtidos nas combinações lineares: