Seja o operador linear dado por e considere as bases ordenadas e de .
Obtenha a matriz de em relação à base ordenada .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um operador linear definido por . Além disso, estamos trabalhando com duas bases ordenadas: a base padrão e a base de . O que precisamos fazer é encontrar a matriz de em relação à base ordenada .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de um operador linear em relação a uma base é obtida aplicando a cada vetor da base e expressando o resultado como uma combinação linear dos vetores de .

Passo 3

Vamos identificar os vetores da base :
Precisamos calcular e .

Passo 4

Aplicando aos vetores de :

Passo 5

Agora, vamos expressar e como combinações lineares dos vetores da base .
Primeiro, encontramos coeficientes e tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto:

Passo 7

Agora, fazemos o mesmo para :
Procuramos coeficientes e tais que:
Isso nos dá:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então:
Portanto:

Passo 9

Agora, podemos montar a matriz de na base . Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes obtidos nas combinações lineares:

Resposta

A matriz de em relação à base ordenada é

Exercícios relacionados

Sejam e dois subconjuntos do .
Encontre um conjunto de geradores para e . Qual é a dimensão de e ?
Seja o operador linear dado por e considere as bases ordenadas e de .
Obtenha e .
Determine uma base e a dimensão de V, descrito por:
Seja o operador linear sobre tal que .
Obtenha .