Seja
o operador linear dado por
e considere as bases ordenadas
e
de
.
Obtenha a matriz de
em relação à base ordenada
.
Obtenha a matriz de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um operador linear
definido por
. Além disso, estamos trabalhando com duas bases ordenadas: a base padrão
e a base
de
. O que precisamos fazer é encontrar a matriz de
em relação à base ordenada
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz de um operador linear
em relação a uma base
é obtida aplicando
a cada vetor da base
e expressando o resultado como uma combinação linear dos vetores de
.
Passo 3
Vamos identificar os vetores da base
:
Precisamos calcular
e
.
Passo 4
Aplicando
aos vetores de
:
Passo 5
Agora, vamos expressar
e
como combinações lineares dos vetores da base
.
Primeiro, encontramos coeficientes
e
tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto:
Passo 7
Agora, fazemos o mesmo para
:
Procuramos coeficientes
e
tais que:
Isso nos dá:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então:
Portanto:
Passo 9
Agora, podemos montar a matriz de
na base
. Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes obtidos nas combinações lineares:
Resposta
A matriz de
em relação à base ordenada
é