Sejam e . Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
d) O conjunto é LI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá cinco vetores no espaço tridimensional e nos pede para verificar se o conjunto formado pelos vetores , e é linearmente independente (LI). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações usando esses vetores e ver se a única solução possível é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em termos matemáticos, queremos ver se a equação
tem apenas a solução trivial .
Vamos escrever isso com os componentes dos vetores:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de c1, c2 e c3.
Isso significa que existem soluções não triviais para o sistema (por exemplo, se c2 = 1, então c1 = -1 e c3 = -1), o que indica que os vetores são dependentes linearmente.
Resposta
Falso. O conjunto v2, v3, v4 não é linearmente independente, pois existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero.