Sejam v1=(0,0,0), v2=(-1,0,2), v3=(-1,1,2), v4=(0,1,0) e v5=(1,1,1). Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
d) O conjunto v2, v3, v4 é LI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá cinco vetores no espaço tridimensional e nos pede para verificar se o conjunto formado pelos vetores v2, v3 e v4 é linearmente independente (LI). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações usando esses vetores e ver se a única solução possível é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em termos matemáticos, queremos ver se a equação
c1v2 + c2v3 + c3v4 = 0
tem apenas a solução trivial c1 = c2 = c3 = 0.
Vamos escrever isso com os componentes dos vetores:
c1(-1, 0, 2) + c2(-1, 1, 2) + c3(0, 1, 0) = (0, 0, 0)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
- c1 - c2 + 0 cdot c3 = 0 0 cdot c1 + c2 + c3 = 0 2c1 + 2c2 + 0 cdot c3 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de c1, c2 e c3.
Da primeira equação:
- c1 - c2 = 0 Rightarrow c1 = -c2
Da terceira equação:
2c1 + 2c2 = 0 Rightarrow 2(-c2) + 2c2 = 0 Rightarrow -2c2 + 2c2 = 0 Rightarrow 0 = 0
Essa equação não nos dá nenhuma informação nova.
Da segunda equação:
c2 + c3 = 0 Rightarrow c3 = -c2
Então, temos:
c1 = -c2 c3 = -c2
Isso significa que existem soluções não triviais para o sistema (por exemplo, se c2 = 1, então c1 = -1 e c3 = -1), o que indica que os vetores são dependentes linearmente.

Resposta

Falso. O conjunto v2, v3, v4 não é linearmente independente, pois existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero.

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