Determine uma base para o (caso exista!) e uma base para a das transformações lineares abaixo. Decida se são injetiva e/ou sobrejetiva: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base para o núcleo () e para a imagem () da transformação linear definida por . Além disso, vamos ver se essa transformação é injetiva e/ou sobrejetiva. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como solução de sistemas lineares e propriedades de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o núcleo de . O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero. Matemáticamente, isso significa resolver a equação:
Passo 3
Vamos resolver essa equação componente por componente:
Da segunda equação, temos que . As outras componentes nos não dão restrições sobre e . Então, o núcleo é formado por todos os vetores , onde e podem ser quaisquer números reais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma base para . Observando que e são livres, podemos expressar qualquer vetor no núcleo como uma combinação linear de dois vetores independentes:
Portanto, uma base para o núcleo é .
Passo 5
Vamos agora encontrar a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . A imagem é dada por:
Passo 6
Para encontrar uma base para , observamos que todo vetor na imagem é múltiplo de . Assim, uma base para a imagem é .
Passo 7
Agora, vamos decidir se a transformação é injetiva e/ou sobrejetiva.
Injetiva: Uma transformação é injetiva se apenas o vetor zero está no núcleo. No nosso caso, contém mais vetores além do zero ( e são livres). Portanto, não é injetiva.
Sobrejetiva: Uma transformação é sobrejetiva se sua imagem é todo o espaço codomínio. Aqui, é somente os vetores da forma , ou seja, não cobre todo . Logo, não é sobrejetiva.
Resposta
Uma base para é e uma base para é . A transformação não é injetiva nem sobrejetiva.