Seja L: R^2 R^2 definida por L([lx y])=[lx+2 y 2 x-y]. Seja S a base canônica para R^2 e seja T=[c-1 2],[l2 0] outra base para R^2. Encontre a matriz que representa L em relaçāo a:
b) S e T

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear x y definida por x + 2y 2x - y. O objetivo é encontrar a matriz que representa -1 2 em relação à base canônica 2 0 e à outra base . Vamos precisar entender como expressar os vetores transformados de na base .

Passo 2

Primeiro, a gente vai aplicar a transformação 1 0 nos elementos da base canônica 0 1, que são e . Depois, vamos expressar esses vetores resultantes na base . As coordenadas obtidas vão formar as colunas da matriz que representa de para .

Passo 3

Vamos calcular L(1 0) = 1 + 2 times 0 2 times 1 - 0 = 1 2 :
1 2
Agora, precisamos expressar 1 2 = a -1 2 + b 2 0 como combinação linear dos vetores de - a + 2b = 1 2a = 2 :
-1 + 2b = 1 Rightarrow 2b = 2 Rightarrow b = 1
Resolvendo o sistema:
1 1
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, na base é .

Passo 4

Agora, vamos calcular L(0 1) = 0 + 2 times 1 2 times 0 - 1 = 2 -1 :
2 -1
Expressando 2 -1 = a -1 2 + b 2 0 na base - a + 2b = 2 2a = -1 :
12 + 2b = 2 Rightarrow 2b = 32 Rightarrow b = 34
Resolvendo o sistema:
-12 34
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, na base é .

Resposta

A matriz que representa 1 & -dfrac12 1 & dfrac34 em relação às bases e é:

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