Seja definida por . Seja a base canônica para e seja outra base para . Encontre a matriz que representa em relaçāo a:
b) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . O objetivo é encontrar a matriz que representa em relação à base canônica e à outra base . Vamos precisar entender como expressar os vetores transformados de na base .

Passo 2

Primeiro, a gente vai aplicar a transformação nos elementos da base canônica , que são e . Depois, vamos expressar esses vetores resultantes na base . As coordenadas obtidas vão formar as colunas da matriz que representa de para .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, precisamos expressar como combinação linear dos vetores de :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, na base é .

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Expressando na base :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, na base é .

Resposta

A matriz que representa em relação às bases e é:

Exercícios relacionados

Sejam e vetores em 𝕜.
(d) Conclua que 𝕜 e a dimensão de .
Se e , determinar
Determine uma base para o (caso exista!) e uma base para a das transformações lineares abaixo. Decida se são injetiva e/ou sobrejetiva: .
Sejam e subespacos gerados do . Determine:
(b) ?