Sejam e vetores em .
(d) Conclua que e a dimensão de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá três vetores no espaço tridimensional : , e . A gente precisa mostrar que o conjunto desses vetores gera todo o espaço , ou seja, que qualquer vetor nesse espaço pode ser escrito como combinação linear desses três vetores. Além disso, queremos saber qual é a dimensão desse conjunto gerador. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear, espaço gerado (span) e dimensão de um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa o span de um conjunto de vetores. O span de é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como:
onde , , e são escalares em .
Para mostrar que o span desses vetores é todo o espaço , precisamos demonstrar que para qualquer vetor em , existem valores de , , e que satisfazem a equação acima.
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações para encontrar , , e . Igualando as coordenadas, temos:
Simplificando, o sistema fica:
Nosso objetivo é resolver esse sistema para , , e em termos de , , e .
Passo 4
Vamos resolver o sistema usando o método de substituição. Da terceira equação:
Agora, substituímos na primeira e segunda equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Agora, temos duas expressões para :
Vamos simplificar:
Então, temos uma relação entre , e : .
Passo 5
Para que o sistema tenha solução para todo em 𝕜, a relação deve ser verdadeira para quaisquer , , e , o que só acontece se essa relação for sempre válida. No entanto, isso não é verdade para todos os vetores em 𝕜, indicando que os vetores , e não geram todo o espaço 𝕜.
Passo 6
Mas peraí! O enunciado pede para concluir que o span é 𝕜. Pode ser que tenhamos feito algo errado. Vamos analisar o sistema novamente.
Retornando ao Passo 4, observamos que:
Igualando as duas expressões para :
Isso implica que o sistema só tem solução se . Portanto, os vetores , e geram não todo 𝕜, mas sim um subespaço onde . Isso significa que o span desses vetores é uma hiperplano em 𝕜, de dimensão 2.
Passo 7
Então, a dimensão do span de é 2, já que ele forma um plano dentro de 𝕜.
Resposta
O span de não é todo o espaço 𝕜, mas sim um subespaço de dimensão 2.