Sejam e vetores em 𝕜.
(d) Conclua que 𝕜 e a dimensão de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá três vetores no espaço tridimensional 𝕜: , e . A gente precisa mostrar que o conjunto desses vetores gera todo o espaço 𝕜, ou seja, que qualquer vetor nesse espaço pode ser escrito como combinação linear desses três vetores. Além disso, queremos saber qual é a dimensão desse conjunto gerador. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear, espaço gerado (span) e dimensão de um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa o span de um conjunto de vetores. O span de é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor em 𝕜 pode ser escrito como:
onde , , e são escalares em 𝕜.
Para mostrar que o span desses vetores é todo o espaço 𝕜, precisamos demonstrar que para qualquer vetor em 𝕜, existem valores de , , e que satisfazem a equação acima.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações para encontrar , , e . Igualando as coordenadas, temos:
Simplificando, o sistema fica:
Nosso objetivo é resolver esse sistema para , , e em termos de , , e .

Passo 4

Vamos resolver o sistema usando o método de substituição. Da terceira equação:
Agora, substituímos na primeira e segunda equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Agora, temos duas expressões para :
Vamos simplificar:
Então, temos uma relação entre , e : .

Passo 5

Para que o sistema tenha solução para todo em 𝕜, a relação deve ser verdadeira para quaisquer , , e , o que só acontece se essa relação for sempre válida. No entanto, isso não é verdade para todos os vetores em 𝕜, indicando que os vetores , e não geram todo o espaço 𝕜.

Passo 6

Mas peraí! O enunciado pede para concluir que o span é 𝕜. Pode ser que tenhamos feito algo errado. Vamos analisar o sistema novamente.
Retornando ao Passo 4, observamos que:
Igualando as duas expressões para :
Isso implica que o sistema só tem solução se . Portanto, os vetores , e geram não todo 𝕜, mas sim um subespaço onde . Isso significa que o span desses vetores é uma hiperplano em 𝕜, de dimensão 2.

Passo 7

Então, a dimensão do span de é 2, já que ele forma um plano dentro de 𝕜.

Resposta

O span de não é todo o espaço 𝕜, mas sim um subespaço de dimensão 2.

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Se e , determinar
Vereifique se as funções abaixo não são transformações lineares: .
Seja definida por . Seja a base canônica para e seja outra base para . Encontre a matriz que representa em relaçāo a:
b) e
Determine uma base para o (caso exista!) e uma base para a das transformações lineares abaixo. Decida se são injetiva e/ou sobrejetiva: .