Sejam e vetores em .
(d) Conclua que e a dimensão de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá três vetores no espaço tridimensional : , e . A gente precisa mostrar que o conjunto desses vetores gera todo o espaço , ou seja, que qualquer vetor nesse espaço pode ser escrito como combinação linear desses três vetores. Além disso, queremos saber qual é a dimensão desse conjunto gerador. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear, espaço gerado (span) e dimensão de um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa o span de um conjunto de vetores. O span de é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como:
onde , , e são escalares em .
Para mostrar que o span desses vetores é todo o espaço , precisamos demonstrar que para qualquer vetor em , existem valores de , , e que satisfazem a equação acima.
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações para encontrar , , e . Igualando as coordenadas, temos:
Simplificando, o sistema fica:
a + b + 2c = x 2a + b + 3c = y - a - c = z
Nosso objetivo é resolver esse sistema para a, b, e c em termos de x, y, e z.
Passo 4
Vamos resolver o sistema usando o método de substituição. Da terceira equação:
- a - c = z Rightarrow a = -c - z
Agora, substituímos a na primeira e segunda equações:
Primeira equação:
(-c - z) + b + 2c = x (-c + 2c) + b - z = x c + b - z = x b = x + z - c
Segunda equação:
2(-c - z) + b + 3c = y -2c - 2z + b + 3c = y (c - 2z) + b = y b = y + 2z - c
Agora, temos duas expressões para b:
x + z - c = y + 2z - c
Vamos simplificar:
x + z = y + 2z x - y = z
Então, temos uma relação entre x, y e z: x - y = z.
Passo 5
Para que o sistema tenha solução para todo b = (x, y, z) em k^3𝕜, a relação x - y = z deve ser verdadeira para quaisquer x, y, e z, o que só acontece se essa relação for sempre válida. No entanto, isso não é verdade para todos os vetores em k^3𝕜, indicando que os vetores u, v e wnão geram todo o espaço k^3𝕜.
Passo 6
Mas peraí! O enunciado pede para concluir que o span é k^3𝕜. Pode ser que tenhamos feito algo errado. Vamos analisar o sistema novamente.
Retornando ao Passo 4, observamos que:
b = x + z - c b = y + 2z - c
Igualando as duas expressões para b:
x + z - c = y + 2z - c x + z = y + 2z x - y = z
Isso implica que o sistema só tem solução se x - y = z. Portanto, os vetores u, v e w geram não todo k^3𝕜, mas sim um subespaço onde x - y = z. Isso significa que o span desses vetores é uma hiperplano em k^3𝕜, de dimensão 2.
Passo 7
Então, a dimensão do span de u, v, w é 2, já que ele forma um plano dentro de k^3𝕜.
Resposta
O span de u, v, wnão é todo o espaço k^3𝕜, mas sim um subespaço de dimensão 2.