Sejam U=SpanR(2,1,1),(1,0,2) e V=SpanR(3,1,0),(0,2,2) subespacos gerados do R^3. Determine:
(b) U+W=R^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que fala sobre subespaços vetoriais no . Temos dois subespaços:
A pergunta é: ?
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de soma de subespaços, dimensão de subespaços e interseção de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a soma de dois subespaços U + V = u + v mid u in U, v in V é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como soma de um vetor de dim(U + V) = dim(U) + dim(V) - dim(U cap V) com um vetor de . Ou seja:
Queremos verificar se essa soma cobre todo o espaço . Para isso, vamos usar a seguinte fórmula da dimensão:
Se , então .

Passo 3

Vamos encontrar as dimensões de 2 & 1 1 & 0 1 & 2 e 3 & 0 1 & 2 0 & 2 .
Cada subespaço é gerado por 2 vetores, então inicialmente temos e .
Precisamos verificar se os vetores que geram e são linearmente independentes.
Para :
Se os vetores são linearmente independentes, então . Fazendo uma análise rápida, vemos que nenhum vetor é múltiplo do outro, então .
Para :
Novamente, nenhum vetor é múltiplo do outro, então .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a(2,1,1) + b(1,0,2) = c(3,1,0) + d(0,2,2) , ou seja, a dimensão da interseção entre 2a + b = 3c a = c + 2d a + 2b = 2d e .
Para isso, procuramos vetores que estão tanto em quanto em . Isso significa que existe tais que:
Isso nos leva ao seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de .

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação: -72b = -2b + 2d Rightarrow -72b + 2b = 2d Rightarrow -32b = 2d Rightarrow d = -34b
  2. Substituindo na terceira equação:
  3. Substituindo na primeira equação:
Agora, sabemos que e . Substituindo esses valores na expressão para :
Isso significa que todas as soluções são múltiplos de . Portanto, a interseção é uma linha (subespaço de dimensão 1).

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula da dimensão:
dim(U + V) = dim(U) + dim(V) - dim(U cap V) = 2 + 2 - 1 = 3
Como , isso significa que é igual a todo o espaço .

Resposta

Sim, .

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