Beleza, vamos resolver a questão que fala sobre subespaços vetoriais no . Temos dois subespaços:
A pergunta é: ?
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de soma de subespaços, dimensão de subespaços e interseção de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a soma de dois subespaços é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como soma de um vetor de com um vetor de . Ou seja:
Queremos verificar se essa soma cobre todo o espaço . Para isso, vamos usar a seguinte fórmula da dimensão:
Se , então .
Passo 3
Vamos encontrar as dimensões de e .
Cada subespaço é gerado por 2 vetores, então inicialmente temos e .
Precisamos verificar se os vetores que geram e são linearmente independentes.
Para :
Se os vetores são linearmente independentes, então . Fazendo uma análise rápida, vemos que nenhum vetor é múltiplo do outro, então .
Para :
Novamente, nenhum vetor é múltiplo do outro, então .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar , ou seja, a dimensão da interseção entre e .
Para isso, procuramos vetores que estão tanto em quanto em . Isso significa que existe tais que:
Isso nos leva ao seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de .
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, sabemos que e . Substituindo esses valores na expressão para :
Isso significa que todas as soluções são múltiplos de . Portanto, a interseção é uma linha (subespaço de dimensão 1).
Passo 6
Agora, aplicando a fórmula da dimensão:
Como , isso significa que é igual a todo o espaço .