Determine uma base para o (caso exista!) e uma base para a das transformações lineares abaixo. Decida se são injetiva e/ou sobrejetiva: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar uma base para o e para o da transformação linear definida por . Além disso, precisamos decidir se essa transformação é injetiva e/ou sobrejetiva. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como núcleo (kernel), imagem (imagem), e propriedades de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de , ou seja, todos os vetores que satisfazem . Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo. A segunda equação nos dá z = y. Substituindo z por y na terceira equação:
2x - y = 0 Rightarrow y = 2x
Agora, substituindo y = 2x e z = y = 2x na primeira equação:
Com x = 0, substituímos de volta para encontrar y e z:
y = 2x = 0 z = y = 0
Então, a única solução é (x, y, z) = (0, 0, 0).
Passo 5
Isso significa que o núcleo de T contém apenas o vetor zero, ou seja, Ker(T) = (0, 0, 0). Portanto, uma base para o núcleo de T é o conjunto vazio, indicando que a transformação é injetiva.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem de T, que é o conjunto de todos os vetores resultantes de T(x, y, z). Vamos expressar a transformação linear como uma matriz:
A = 6 & 1 & -3 0 & -1 & 1 2 & 0 & -1
Passo 7
Para encontrar a imagem de T, precisamos encontrar o espaço gerado pelas colunas da matriz A. Vamos reduzir a matriz A para a forma escalonada por linhas:
Observamos que a matriz tem duas linhas não nulas, o que significa que a imagem de T é um subespaço de R^3 de dimensão 2. Portanto, uma base para Im(T) pode ser formada pelas duas primeiras colunas da matriz original que são linearmente independentes:
6 0 2 , 1 -1 0
Passo 9
Finalmente, vamos verificar se a transformação T é sobrejetiva. Como a dimensão da imagem de T é 2 e o espaço de chegada é R^3, que tem dimensão 3, T não é sobrejetiva.
Resposta
Uma base para o Ker(T) é apenas o vetor (0, 0, 0). Uma base para a Im(T) é formada pelos vetores (6, 0, 2) e (1, -1, 0). A transformação T é injetiva, mas não é sobrejetiva.