Determine uma base para o (caso exista!) e uma base para a das transformações lineares abaixo. Decida se são injetiva e/ou sobrejetiva: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar uma base para o e para o da transformação linear definida por . Além disso, precisamos decidir se essa transformação é injetiva e/ou sobrejetiva. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como núcleo (kernel), imagem (imagem), e propriedades de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de , ou seja, todos os vetores que satisfazem . Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo. A segunda equação nos dá . Substituindo por na terceira equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Passo 4
Com , substituímos de volta para encontrar e :
Então, a única solução é .
Passo 5
Isso significa que o núcleo de contém apenas o vetor zero, ou seja, . Portanto, uma base para o núcleo de é o conjunto vazio, indicando que a transformação é injetiva.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores resultantes de . Vamos expressar a transformação linear como uma matriz:
Passo 7
Para encontrar a imagem de , precisamos encontrar o espaço gerado pelas colunas da matriz . Vamos reduzir a matriz para a forma escalonada por linhas:
Passo 8
Observamos que a matriz tem duas linhas não nulas, o que significa que a imagem de é um subespaço de de dimensão 2. Portanto, uma base para pode ser formada pelas duas primeiras colunas da matriz original que são linearmente independentes:
Passo 9
Finalmente, vamos verificar se a transformação é sobrejetiva. Como a dimensão da imagem de é 2 e o espaço de chegada é , que tem dimensão 3, não é sobrejetiva.
Resposta
Uma base para o é apenas o vetor . Uma base para a é formada pelos vetores e . A transformação é injetiva, mas não é sobrejetiva.