Determine uma base para o Ker(T) (caso exista!) e uma base para a Im(T) das transformações lineares abaixo. Decida se são injetiva e/ou sobrejetiva: T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(6 x+y-3 z, z-y, 2 x-z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar uma base para o Ker(T) e para o Im(T) da transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (6x + y - 3z, z - y, 2x - z). Além disso, precisamos decidir se essa transformação é injetiva e/ou sobrejetiva. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como núcleo (kernel), imagem (imagem), e propriedades de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T, ou seja, todos os vetores (x, y, z) in R^3 que satisfazem T(x, y, z) = (0, 0, 0). Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações:
6x + y - 3z = 0 z - y = 0 2x - z = 0

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. A segunda equação nos dá z = y. Substituindo z por y na terceira equação:
2x - y = 0 Rightarrow y = 2x
Agora, substituindo y = 2x e z = y = 2x na primeira equação:
6x + 2x - 3(2x) = 0 Rightarrow 6x + 2x - 6x = 2x = 0 Rightarrow x = 0

Passo 4

Com x = 0, substituímos de volta para encontrar y e z:
y = 2x = 0 z = y = 0
Então, a única solução é (x, y, z) = (0, 0, 0).

Passo 5

Isso significa que o núcleo de T contém apenas o vetor zero, ou seja, Ker(T) = (0, 0, 0). Portanto, uma base para o núcleo de T é o conjunto vazio, indicando que a transformação é injetiva.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem de T, que é o conjunto de todos os vetores resultantes de T(x, y, z). Vamos expressar a transformação linear como uma matriz:
A = 6 & 1 & -3 0 & -1 & 1 2 & 0 & -1

Passo 7

Para encontrar a imagem de T, precisamos encontrar o espaço gerado pelas colunas da matriz A. Vamos reduzir a matriz A para a forma escalonada por linhas:
6 & 1 & -3 0 & -1 & 1 2 & 0 & -1 6 & 1 & -3 0 & -1 & 1 0 & -13 & 12 6 & 1 & -3 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0

Passo 8

Observamos que a matriz tem duas linhas não nulas, o que significa que a imagem de T é um subespaço de R^3 de dimensão 2. Portanto, uma base para Im(T) pode ser formada pelas duas primeiras colunas da matriz original que são linearmente independentes:
6 0 2 , 1 -1 0

Passo 9

Finalmente, vamos verificar se a transformação T é sobrejetiva. Como a dimensão da imagem de T é 2 e o espaço de chegada é R^3, que tem dimensão 3, T não é sobrejetiva.

Resposta

Uma base para o Ker(T) é apenas o vetor (0, 0, 0). Uma base para a Im(T) é formada pelos vetores (6, 0, 2) e (1, -1, 0). A transformação T é injetiva, mas não é sobrejetiva.

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