Determine uma base para o (caso exista!) e uma base para a das transformações lineares abaixo. Decida se são injetiva e/ou sobrejetiva: .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base para o núcleo () e uma base para a imagem () dessa transformação. Além disso, precisamos decidir se essa transformação é injetiva e/ou sobrejetiva.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares, núcleo, imagem, bases e as definições de injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de , ou seja, todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Matematicamente, isso significa resolver o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda equação:
E, consequentemente, .
Passo 4
Então, o único vetor que satisfaz essas equações é . Isso significa que o núcleo de é trivial, ou seja, . Como o núcleo só contém o vetor zero, ele não tem uma base não trivial.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser expressos como para algum em . Podemos reescrever como uma combinação linear dos vetores:
Passo 6
Para encontrar uma base para a imagem, precisamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Suponha que exista e tais que:
Isso resulta no sistema:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda: .
Então, .
Como a única solução é e , os vetores são linearmente independentes.
Passo 8
Portanto, a imagem de é gerada pelos vetores e . Assim, uma base para é:
Passo 9
Agora, vamos verificar a injetividade e sobrejetividade de :
Injetiva: Uma transformação linear é injetiva se seu núcleo é trivial. Como , é injetiva.
Sobrejetiva: Uma transformação não pode ser sobrejetiva porque a imagem está no máximo com dimensão 2, enquanto o contra-domínio tem dimensão 3. Portanto, não é sobrejetiva.