(3,0 pts) Considere o operador linear tal que sua matriz em relação à base canônica é dada por:
(b) Encontre o polinômio minimal de é diagonalizável? Justifıque.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um operador linear que atua em e sua matriz está dada na base canônica. A parada aqui envolve a teoria de polinômios mínimos e a diagonalização de matrizes. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre autovalores, polinômios característicos e como eles se relacionam com a diagonalização. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Como a matriz de é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são simplesmente os valores na diagonal principal. Olhando para a matriz:
Os autovalores são , , e .

Passo 3

Agora, vamos montar o polinômio característico de , que é dado por:
Com os autovalores já identificados, sabemos que o polinômio característico será:
Isso porque cada autovalor aparece duas vezes na diagonal.

Passo 4

O próximo passo é encontrar o polinômio mínimo de , que é o polinômio não nulo de menor grau tal que . O polinômio mínimo precisa ter os mesmos fatores do polinômio característico, mas com multiplicidades menores ou iguais.
Nesse caso, como os autovalores não são simples (cada um aparece duas vezes), precisamos verificar as multiplicidades geométrica e algébrica para determinar as multiplicidades no polinômio mínimo.

Passo 5

Vamos verificar as multiplicidades geométrica de cada autovalor. A multiplicidade geométrica é o número de vetores próprios (autovetores) associados a cada autovalor, que corresponde à dimensão do espaço próprio.
Para :
Resolvendo , temos:
Isso resulta em uma única solução independente, então a multiplicidade geométrica de 1 é 1.
Para :
Resolvendo , temos:
Novamente, temos uma única solução independente, então a multiplicidade geométrica de -1 é 1.

Passo 6

Como a multiplicidade geométrica de cada autovalor é menor que sua multiplicidade algébrica (que é 2 para ambos), isso indica que o operador não é diagonalizável. Para ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica.
Portanto, o polinômio mínimo de será:

Resposta

O polinômio mínimo de é e o operador não é diagonalizável.

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c) e