Determine
e
dos funcionais lineares abaixo. Decida se são injetivo e/ou sobrejetivo:
dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o Núcleo (Ker) e a Imagem (Im) do funcional linear
que é definido por
. Além disso, precisamos decidir se esse funcional é injetivo e/ou sobrejetivo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear, além dos conceitos de injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o Núcleo de
, que é o conjunto de todos os vetores
em
que são enviados para zero pela transformação
. Ou seja, queremos resolver a equação:
Passo 3
Resolvendo a equação
, temos que
. Isso significa que qualquer vetor
no núcleo de
pode ser escrito como
, onde
é um número real. Podemos fatorar
da seguinte forma:
Portanto, o núcleo de
é o conjunto de todos os múltiplos do vetor
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a Imagem de
, que é o conjunto de todos os valores reais que
pode assumir. Como
e
e
podem ser quaisquer números reais, a imagem de
é todo o conjunto
, porque para qualquer número real
, podemos encontrar
e
tais que
.
Passo 5
Por fim, vamos verificar se
é injetivo e/ou sobrejetivo.
-
Injetivo: Uma transformação é injetiva se vetores diferentes em
são mapeados para valores diferentes em . No entanto, como o núcleo de contém mais do que apenas o vetor zero (tem toda a linha ), não é injetiva. -
Sobrejetivo: Uma transformação é sobrejetiva se todo elemento do espaço de chegada
é atingido por algum elemento do espaço de partida . Como determinamos que a imagem de é todo , é sobrejetiva.
Resposta
O núcleo de
é o conjunto
e a imagem de
é
. Além disso,
não é injetivo, mas é sobrejetivo.
Exercícios relacionados
Seja
definida por
. Seja
a base canônica para
e seja
outra base para
. Encontre a matriz que representa
em relaçāo a:
c) e
c)
Determine uma base para o
(caso exista!) e uma base para a
das transformações lineares abaixo. Decida se são injetiva e/ou sobrejetiva:
.
Seja
definida por
. Seja
a base canônica para
e seja
outra base para
. Encontre a matriz que representa
em relaçāo a:
d)
d)
Prove que o subespaço vetorial formado pelos polinômios do tipo
e as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, é um subespaço vetorial de
.