Determine e dos funcionais lineares abaixo. Decida se são injetivo e/ou sobrejetivo: dado por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o Núcleo (Ker) e a Imagem (Im) do funcional linear que é definido por . Além disso, precisamos decidir se esse funcional é injetivo e/ou sobrejetivo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear, além dos conceitos de injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o Núcleo de , que é o conjunto de todos os vetores em que são enviados para zero pela transformação . Ou seja, queremos resolver a equação:

Passo 3

Resolvendo a equação , temos que . Isso significa que qualquer vetor no núcleo de pode ser escrito como , onde é um número real. Podemos fatorar da seguinte forma:
Portanto, o núcleo de é o conjunto de todos os múltiplos do vetor .

Passo 4

Agora, vamos determinar a Imagem de , que é o conjunto de todos os valores reais que pode assumir. Como e e podem ser quaisquer números reais, a imagem de é todo o conjunto , porque para qualquer número real , podemos encontrar e tais que .

Passo 5

Por fim, vamos verificar se é injetivo e/ou sobrejetivo.
  • Injetivo: Uma transformação é injetiva se vetores diferentes em são mapeados para valores diferentes em . No entanto, como o núcleo de contém mais do que apenas o vetor zero (tem toda a linha ), não é injetiva.
  • Sobrejetivo: Uma transformação é sobrejetiva se todo elemento do espaço de chegada é atingido por algum elemento do espaço de partida . Como determinamos que a imagem de é todo , é sobrejetiva.

Resposta

O núcleo de é o conjunto e a imagem de é . Além disso, não é injetivo, mas é sobrejetivo.

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c) e
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