Use aforma diagonal para encontrar A^n, onde A=(ccc0 & 7 & -6 -1 & 4 & 0 0 & 2 & -2).
Sugestão Mostre que A=B D B^-1, onde D é uma matriz diagonal e B é a matriz da base dada pelos autovetores.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular A = 0 & 7 & -6 -1 & 4 & 0 0 & 2 & -2 usando a forma diagonal. A matriz que a gente vai trabalhar é:
Para resolver isso, a gente vai precisar encontrar os autovalores e os autovetores de . Com esses, vamos formar a matriz com os autovetores e a matriz diagonal com os autovalores. Aí, usando , a gente consegue calcular de forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Isso envolve resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando o determinante:
det -lambda & 7 & -6 -1 & 4 - lambda & 0 0 & 2 & -2 - lambda = 0
Expandindo esse determinante, a gente vai encontrar um polinômio que, ao resolver, dá os autovalores de .

Passo 4

Após resolver o polinômio característico, digamos que a gente encontrou os autovalores . Vamos supor que eles são reais e distintos para facilitar.

Passo 5

Agora, para cada autovalor (A - lambdai I)v = 0 , vamos encontrar o autovetor correspondente resolvendo:
Isso nos dá os autovetores que formam as colunas da matriz .

Passo 6

Com os autovalores e autovetores em mãos, montamos a matriz D = lambda1 & 0 & 0 0 & lambda2 & 0 0 & 0 & lambda3 diagonal:
B = v1 & v2 & v3
E a matriz formada pelos autovetores:

Passo 7

Finalmente, sabemos que:
A = B D B^-1
Então, para calcular A^n = B D^n B^-1 , elevamos D^n = lambda1^n & 0 & 0 0 & lambda2^n & 0 0 & 0 & lambda3^n à potência :
Onde:

Resposta

Portanto, a expressão para A^n = B D^n B^-1 usando a forma diagonal é:
Onde é a matriz diagonal com os autovalores de e é a matriz formada pelos autovetores correspondentes.

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