Seja T: R^3 R^3 a transformação linear cuja matriz na base canônica é
[T]=[rrr 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 ]
Determine:
(e) Té diagonalizável? Justifique. Caso afirmativo, encontre uma base que diagonaliza o operador T.

Passo 1

Ok, vamos lá! Você me passou um exercício de álgebra linear sobre transformações lineares e diagonalização. Precisamos descobrir se a transformação linear é diagonalizável e, se for, encontrar uma base que a diagonalize. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores, autovetores e como eles ajudam a diagonalizar matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz de [T] = 1 & -1 & 0 0 & 3 & 0 1 & 1 & 1 . Para isso, resolvemos a equação característica T - lambda I = 1-lambda & -1 & 0 0 & 3-lambda & 0 1 & 1 & 1-lambda , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
A matriz de é:
Subtraindo da diagonal principal, temos:

Passo 3

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(T - lambda I) = (1-lambda)[(3-lambda)(1-lambda) - 0 cdot 1] - (-1)[0 cdot (1-lambda) - 0 cdot 1] + 0[0 cdot 1 - (3-lambda) cdot 1]
Simplificando:
det(T - lambda I) = (1-lambda)(3-lambda)(1-lambda) = (1-lambda)^2 (3-lambda)

Passo 4

Resolvendo (1-lambda)^2 (3-lambda) = 0 :
lambda1 = 1 (com mu
Os autovalores são:

Passo 5

Para a matriz ser diagonalizável, o espaço das autovetores para cada autovalor deve ter dimensão igual à sua multiplicidade. Vamos verificar isso para cada autovalor.

Para 0 & -1 & 0 0 & 2 & 0 1 & 1 & 0 x y z = 0 0 0 :
Resolvemos -y = 0 Rightarrow y = 0 2y = 0 Rightarrow y = 0 x + y = 0 Rightarrow x = 0 :
[
-2 & -1 & 0 0 & 0 & 0 1 & 1 & -2 x y z = 0 0 0
-2x - y = 0 Rightarrow y = -2x x + y - 2z = 0 Rightarrow x - 2x - 2z = 0 Rightarrow -x - 2z = 0 Rightarrow x = -2z


]
Isso resulta em:
Portanto, , , e é livre. Então, os autovetores são múltiplos de . Isso significa que o espaço das autovetores para tem dimensão 1, mas a multiplicidade algébrica é 2.

Para :
Resolvemos :
[


]
Isso resulta em:
Com livre, podemos escrever os autovetores como . Portanto, o espaço das autovetores para tem dimensão 1.

Passo 6

Agora, avaliamos se a matriz é diagonalizável. Para isso, somamos as dimensões dos espaços das autovetores:
1 (lambda=1) + 1 (lambda=3) = 2
Mas a dimensão do espaço vetorial é 3. Como a soma das dimensões dos espaços das autovetores é menor que 3, não conseguimos uma base completa de autovetores.

Resposta

Não, a transformação linear não é diagonalizável porque não existem autovetores suficientes para formar uma base completa de .

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