Escalone as matrizes abaixo e determine seus respectivos postos.
c) C=(cccc2 & 1 & -1 & -2 3 & -2 & -1 & -1 2 & -5 & -1 & 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de escalonamento de matrizes para encontrar o posto da matriz C = 2 & 1 & -1 & -2 3 & -2 & -1 & -1 2 & -5 & -1 & 0 . A matriz que a gente tem é:
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para escalar a matriz, ou seja, transformar ela em uma forma triangular onde conseguimos identificar facilmente o posto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o elemento L2' = L2 - ( 32 ) L1 . Queremos que esse seja o nosso pivô, então vamos usar ele para zerar os elementos abaixo dele na mesma coluna.
Para isso, vamos transformar a segunda e a terceira linha:
  • Para a segunda linha ( 3 - 32 times 2 = 3 - 3 = 0 ):
    Queremos zerar o -2 - 32 times 1 &= -2 - 32 = -72 -1 - 32 times (-1) &= -1 + 32 = 12 -1 - 32 times (-2) &= -1 + 3 = 2 . Então, fazemos:
    L2' = 0 & -72 & 12 & 2
    Calculando:
    L3' = L3 - L1
    Vamos aplicar isso aos outros elementos da segunda linha:
    2 - 2 = 0
    Então, a nova segunda linha fica:
    -5 - 1 &= -6 -1 - (-1) &= 0 0 - (-2) &= 2
  • Para a terceira linha ( L3' = 0 & -6 & 0 & 2 ):
    Queremos zerar o 2 & 1 & -1 & -2 0 & -72 & 12 & 2 0 & -6 & 0 & 2 . Então, fazemos:
    Calculando:
    Aplicando aos outros elementos:
    Então, a nova terceira linha fica:
Agora, nossa matriz escalonada até aqui é:

Passo 3

Agora, vamos focar no segundo pivô, que está na posição L3' = L3 - ( -6-72 ) L2 . Vamos usá-lo para zerar o elemento abaixo dele na mesma coluna.
Para a terceira linha ( -6-72 = 127 ):
Queremos zerar o L3' = L3 - 127 L2 . Fazemos:
0 - 127 times 0 &= 0 -6 - 127 times (-72) &= -6 + 6 = 0 0 - 127 times 12 &= 0 - 67 = -67 2 - 127 times 2 &= 2 - 247 = -107
Simplificando os coeficientes:
L3' = 0 & 0 & -67 & -107
Então:
2 & 1 & -1 & -2 0 & -72 & 12 & 2 0 & 0 & -67 & -107
Aplicando isso aos elementos da terceira linha:
Então, a nova terceira linha fica:
Agora, nossa matriz fica:

Passo 4

Agora que a matriz está escalonada, podemos identificar o posto olhando quantas linhas não nulas existem. Cada linha não nula representa um pivô.
Vamos verificar:
  1. Primeira linha: — tem pivô.
  2. Segunda linha: — tem pivô.
  3. Terceira linha: — tem pivô.
Como todas as três linhas têm pivôs, o posto da matriz é 3.

Resposta

O posto da matriz é igual a 3.

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