Determine as bases b e c em:
(a) 5 A16=132b

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir qual é a base na qual o número é igual a . Isso envolve trabalhar com diferentes sistemas de numeração, ou seja, diferentes bases em que os números são representados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 5 times 16^1 + 10 times 16^0 = 5 times 16 + 10 times 1 = 80 + 10 = 90 . O número está na base 16, que é o sistema hexadecimal. Nesse sistema, os dígitos vão de 0 a 9 e depois de A a F, onde A vale 10, B vale 11, até F que vale 15.
Então, significa:
  • O dígito 5 está na posição das dezesseis unidades.
  • O dígito A (que é 10) está na posição das unidades.
Para converter isso para o sistema decimal, fazemos:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos analisar o número 1 times b^2 + 3 times b^1 + 2 times b^0 = b^2 + 3b + 2 . Esse número está na base , que é o que queremos encontrar. Para descobrir o valor de , vamos também converter para o sistema decimal.
Cada dígito em representa potências de :
  • O dígito 1 está na posição de .
  • O dígito 3 está na posi��ão de .
  • O dígito 2 está na posição de .
Então, a conversão para decimal fica:

Passo 4

Sabemos que b^2 + 3b + 2 = 90 e já calculamos que no sistema decimal. Então, podemos igualar as duas expressões:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o valor de .

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para deixá-la igual a zero:
b^2 + 3b + 2 - 90 = 0
b^2 + 3b - 88 = 0
Agora, resolvemos a equação quadrática b = -3 pm raiz3^2 - 4 times 1 times (-88)2 times 1 . Podemos usar a fórmula de Bhaskara para isso:
b = -3 pm raiz9 + 3522
b = -3 pm raiz3612
b = -3 pm 192
b = 162 = 8
Desconsiderando a solução negativa, temos:

Resposta

A base é igual a 8.

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