Determine as bases b e c em:
(b) 2010=110c

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde a gente precisa encontrar a base tal que . Isso significa que o número 110 na base deve equivaler a 20 na base decimal. Vamos usar conhecimentos sobre sistemas de numeração e conversão de bases para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 1 times c^2 + 1 times c^1 + 0 times c^0 . Em qualquer base , cada dígito representa uma potência de . Então, pode ser expandido da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos escrever essa expressão igual a 20 (já que 1 times c^2 + 1 times c + 0 = 20 ):
c^2 + c = 20
Simplificando:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para resolver c^2 + c - 20 = 0 :
Essa é uma equação quadrática da forma .

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
c = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, c = -1 pm raiz1^2 - 4 times 1 times (-20)2 times 1 = -1 pm raiz1 + 802 = -1 pm raiz812 , c = -1 pm 92 e . Substituindo:

Passo 6

Isso nos dá duas soluções:
c = -1 + 92 = 82 = 4
c = -1 - 92 = -102 = -5
Como base não pode ser negativa, descartamos .

Resposta

c = 4

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