Beleza, vamos lá! Você quer descobrir as coordenadas dos vetores e em duas bases diferentes. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente envolvendo mudança de base e representação de vetores em diferentes sistemas de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em uma nova base usando combinações lineares das novas bases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, temos duas bases diferentes, digamos Base A e Base B.
Passo 3
Vamos supor que a Base A seja a base canônica, ou seja, os vetores , e . Nessa base, as coordenadas dos vetores e já estão dadas:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda base, que vamos chamar de Base B. Suponha que Base B seja composta pelos vetores z = c1 b1 + c2 b2 + c3 b3 , e . Para encontrar as coordenadas de e nessa base, precisamos resolver o seguinte sistema de equações para cada vetor:
Onde são as coordenadas que queremos encontrar.
Passo 5
Vamos fazer isso para cada vetor.
Para 1 = c1 b11 + c2 b21 + c3 b31 :
Montamos o sistema:
1 = c1 b12 + c2 b22 + c3 b32
1 = c1 b13 + c2 b23 + c3 b33
5 = c1 b11 + c2 b21 + c3 b31
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de 2 = c1 b12 + c2 b22 + c3 b32 .
Para 0 = c1 b13 + c2 b23 + c3 b33 :
Montamos o sistema:
E resolvemos para encontrar as coordenadas na Base B.
Resposta
As coordenadas dos vetores [z1]Base A = 1 1 1, [z1]Base B = c1 c2 c3 e [z2]Base A = 5 2 0, [z2]Base B = d1 d2 d3 nas duas bases são:
Observação: Os valores de e dependem dos vetores que compõem a Base B. Para encontrar esses valores, é necessário saber quais são os vetores base dessa segunda base.