Determine: © As coordenadas, nas duas bases, dos vetores z1=(1,1,1) e z2=(5,2,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir as coordenadas dos vetores e em duas bases diferentes. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente envolvendo mudança de base e representação de vetores em diferentes sistemas de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em uma nova base usando combinações lineares das novas bases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, temos duas bases diferentes, digamos Base A e Base B.

Passo 3

Vamos supor que a Base A seja a base canônica, ou seja, os vetores z1 = 1e1 + 1e2 + 1e3 Rightarrow [z1]Base A = 1 1 1 , z2 = 5e1 + 2e2 + 0e3 Rightarrow [z2]Base A = 5 2 0 e . Nessa base, as coordenadas dos vetores e já estão dadas:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda base, que vamos chamar de Base B. Suponha que Base B seja composta pelos vetores z = c1 b1 + c2 b2 + c3 b3 , e . Para encontrar as coordenadas de e nessa base, precisamos resolver o seguinte sistema de equações para cada vetor:
Onde são as coordenadas que queremos encontrar.

Passo 5

Vamos fazer isso para cada vetor.
Para 1 = c1 b11 + c2 b21 + c3 b31 :
Montamos o sistema:
1 = c1 b12 + c2 b22 + c3 b32
1 = c1 b13 + c2 b23 + c3 b33
5 = c1 b11 + c2 b21 + c3 b31
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de 2 = c1 b12 + c2 b22 + c3 b32 .
Para 0 = c1 b13 + c2 b23 + c3 b33 :
Montamos o sistema:
E resolvemos para encontrar as coordenadas na Base B.

Resposta

As coordenadas dos vetores [z1]Base A = 1 1 1, [z1]Base B = c1 c2 c3 e [z2]Base A = 5 2 0, [z2]Base B = d1 d2 d3 nas duas bases são:
Observação: Os valores de e dependem dos vetores que compõem a Base B. Para encontrar esses valores, é necessário saber quais são os vetores base dessa segunda base.

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas de equações escrevendo as matrizes ampliadas. Determine o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possivel, o grau de liberdade.
lx+2 y=2 3 x-y=6 4 x+y=3
(g) Mostre que P^-1[v]S2=[v]S1, para qualquer vetor v=(a, b).
Uma editora publica um best-seller potencial com três encadernações diferentes: capa mole, capa dura e encardenação de luxo. Cada exemplar necessita de um certo tempo para costura e cola conforme mostra a tabela abaixo:
Costura Cola
Capa Mole 1 min 2 min
Capa Dura 2 min 4 min
Luxo 3 min 5 min
Se o local onde são feitas as costuras fica disponível 6 horas por dia e o local onde se cola, 11 horas por dia, quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia, de modo que os locais de trabalho sejam plenamente utilizados?
Mostre que os pontos A=(3,8,0), B=(-11,3,0), C=(-8,-2,0) são vértices de um triângulo isósceles.