Resolva os sistemas de equações escrevendo as matrizes ampliadas. Determine o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possivel, o grau de liberdade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! A gente vai usar matrizes ampliadas, descobrir o posto da matriz ampliada e da matriz dos coeficientes, e ver se o sistema tem solução. Se tiver, também vamos ver quantos graus de liberdade ele tem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz ampliada do sistema. A matriz ampliada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações. Nosso sistema é:
x + 2y = 2 3x - y = 6 4x + y = 3
Então, a matriz ampliada fica:
1 & 2 & | & 2 3 & -1 & | & 6 4 & 1 & | & 3
Passo 3
Agora, vamos determinar o posto da matriz ampliada e o posto da matriz dos coeficientes. O posto de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Isso nos ajuda a saber se o sistema tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.
A matriz dos coeficientes é:
1 & 2 3 & -1 4 & 1
E a matriz ampliada é:
1 & 2 & 2 3 & -1 & 6 4 & 1 & 3
Passo 4
Vamos calcular o posto da matriz dos coeficientes. Para isso, podemos usar o método de escalonamento.
Multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da segunda linha:
1 & 2 0 & -7 4 & 1
Agora, multiplicamos a primeira linha por 4 e subtraímos da terceira linha:
1 & 2 0 & -7 0 & -7
Vemos que a segunda e a terceira linha são iguais, então podemos eliminar uma delas:
1 & 2 0 & -7 0 & 0
Assim, o posto da matriz dos coeficientes é 2.
Passo 5
Agora, vamos calcular o posto da matriz ampliada usando o mesmo método.
Matriz ampliada:
1 & 2 & 2 3 & -1 & 6 4 & 1 & 3
Multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da segunda linha:
1 & 2 & 2 0 & -7 & 0 4 & 1 & 3
Em seguida, multiplicamos a primeira linha por 4 e subtraímos da terceira linha:
1 & 2 & 2 0 & -7 & 0 0 & -7 & -5
Mais uma vez, as linhas 2 e 3 são múltiplos, então podemos eliminar uma delas:
1 & 2 & 2 0 & -7 & 0 0 & 0 & -5
Portanto, o posto da matriz ampliada é 3.
Passo 6
Comparando os postos:
Posto da matriz dos coeficientes: 2
Posto da matriz ampliada: 3
Como o posto da matriz ampliada é maior que o posto da matriz dos coeficientes, isso significa que o sistema é inconsistente. Ou seja, ele não tem solução.