Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que para qualquer vetor . Isso está relacionado ao conteúdo de Mudança de Base na Álgebra Linear. Para resolver, a gente vai precisar entender como as coordenadas de um vetor mudam de uma base para outra base usando a matriz de mudança de base .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. As coordenadas de um vetor em relação a uma base são os coeficientes necessários para expressar esse vetor como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 3
Agora, a matriz de mudança de base é usada para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Se temos duas bases e , a matriz transforma as coordenadas de para . Ou seja, .
Passo 4
Queremos mostrar que . Para isso, vamos usar a propriedade das matrizes inversas. Sabemos que é a matriz inversa de , o que significa que , onde é a matriz identidade.
Passo 5
Vamos aplicar dos dois lados da equação :
Passo 6
Viu só? Ao multiplicar por , a matriz vira a identidade , que não altera o vetor. Assim, ficamos com .