(g) Mostre que P^-1[v]S2=[v]S1, para qualquer vetor v=(a, b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que para qualquer vetor . Isso está relacionado ao conteúdo de Mudança de Base na Álgebra Linear. Para resolver, a gente vai precisar entender como as coordenadas de um vetor mudam de uma base para outra base usando a matriz de mudança de base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. As coordenadas de um vetor em relação a uma base são os coeficientes necessários para expressar esse vetor como uma combinação linear dos vetores da base.

Passo 3

Agora, a matriz de mudança de base é usada para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Se temos duas bases e , a matriz transforma as coordenadas de para . Ou seja, .

Passo 4

Queremos mostrar que . Para isso, vamos usar a propriedade das matrizes inversas. Sabemos que é a matriz inversa de , o que significa que , onde é a matriz identidade.

Passo 5

Vamos aplicar P^-1[v]S2 = P^-1P [v]S1 = I [v]S1 = [v]S1 dos dois lados da equação :

Passo 6

Viu só? Ao multiplicar por , a matriz vira a identidade , que não altera o vetor. Assim, ficamos com .

Resposta

Portanto, demonstramos que para qualquer vetor .

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