(g) Mostre que
, para qualquer vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que
para qualquer vetor
. Isso está relacionado ao conteúdo de Mudança de Base na Álgebra Linear. Para resolver, a gente vai precisar entender como as coordenadas de um vetor mudam de uma base
para outra base
usando a matriz de mudança de base
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. As coordenadas de um vetor em relação a uma base são os coeficientes necessários para expressar esse vetor como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 3
Agora, a matriz de mudança de base
é usada para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Se temos duas bases
e
, a matriz
transforma as coordenadas de
para
. Ou seja,
.
Passo 4
Queremos mostrar que
. Para isso, vamos usar a propriedade das matrizes inversas. Sabemos que
é a matriz inversa de
, o que significa que
, onde
é a matriz identidade.
Passo 5
Vamos aplicar
dos dois lados da equação
:
Passo 6
Viu só? Ao multiplicar
por
, a matriz
vira a identidade
, que não altera o vetor. Assim, ficamos com
.
Resposta
Portanto, demonstramos que
para qualquer vetor
.