Uma editora publica um best-seller potencial com três encadernações diferentes: capa mole, capa dura e encardenação de luxo. Cada exemplar necessita de um certo tempo para costura e cola conforme mostra a tabela abaixo:
Costura
Cola
Capa Mole
1 min
2 min
Capa Dura
2 min
4 min
Luxo
3 min
5 min
Se o local onde são feitas as costuras fica disponível 6 horas por dia e o local onde se cola, 11 horas por dia, quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia, de modo que os locais de trabalho sejam plenamente utilizados?
Passo 1
Vamos resumir a questão: uma editora produz livros com três tipos de encadernação (capa mole, capa dura e luxo) e cada tipo de encadernação requer um tempo específico para costura e cola. O objetivo é determinar quantos livros de cada tipo devem ser produzidos por dia para que os locais de costura e cola sejam totalmente utilizados. Vamos usar sistemas de equações lineares para resolver esse problema, que nos permite encontrar a quantidade ideal de cada encadernação necessária.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis que vamos usar:
: número de livros com capa mole produzidos por dia.
: número de livros com capa dura produzidos por dia.
: número de livros com encadernação de luxo produzidos por dia.
Passo 3
Agora, vamos montar as equações com base nos tempos de costura e cola fornecidos na tabela.
Para a costura:
Explicação: Cada capa mole leva 1 minuto para costura, cada capa dura leva 2 minutos e cada luxo leva 3 minutos. O total de minutos disponíveis para costura por dia é horas, que são minutos.
Para a cola:
Explicação: Cada capa mole leva 2 minutos para cola, cada capa dura leva 4 minutos e cada luxo leva 5 minutos. O total de minutos disponíveis para cola por dia é horas, que são minutos.
Passo 4
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .
Passo 5
Podemos resolver o sistema utilizando o método de substituição ou eliminação. Vamos usar o método de eliminação.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de :
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira:
Simplificando:
Agora que encontramos o valor de , podemos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar e . Vamos usar a primeira equação:
Simplificando:
Agora, vamos expressar em termos de :
Substituímos na segunda equação original:
Simplificando:
Isso significa que a equação é verdadeira para qualquer valor de . Portanto, precisamos de mais informações ou restrições para determinar valores únicos para e . Como o problema pede para utilizar plenamente os locais de trabalho, podemos assumir que queremos maximizar a produção.
Para simplificar, podemos escolher um valor para que seja razoável. Por exemplo, se :
Resposta
A editora deve produzir 180 livros com capa mole, 0 livros com capa dura e 60 livros com encadernação de luxo por dia para utilizar plenamente os locais de costura e cola.