Uma editora publica um best-seller potencial com três encadernações diferentes: capa mole, capa dura e encardenação de luxo. Cada exemplar necessita de um certo tempo para costura e cola conforme mostra a tabela abaixo:
Costura Cola
Capa Mole 1 min 2 min
Capa Dura 2 min 4 min
Luxo 3 min 5 min
Se o local onde são feitas as costuras fica disponível 6 horas por dia e o local onde se cola, 11 horas por dia, quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia, de modo que os locais de trabalho sejam plenamente utilizados?

Passo 1

Vamos resumir a questão: uma editora produz livros com três tipos de encadernação (capa mole, capa dura e luxo) e cada tipo de encadernação requer um tempo específico para costura e cola. O objetivo é determinar quantos livros de cada tipo devem ser produzidos por dia para que os locais de costura e cola sejam totalmente utilizados. Vamos usar sistemas de equações lineares para resolver esse problema, que nos permite encontrar a quantidade ideal de cada encadernação necessária.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis que vamos usar:
  • : número de livros com capa mole produzidos por dia.
  • : número de livros com capa dura produzidos por dia.
  • : número de livros com encadernação de luxo produzidos por dia.

Passo 3

Agora, vamos montar as equações com base nos tempos de costura e cola fornecidos na tabela.
Para a costura:
1x + 2y + 3z = 360
Explicação: Cada capa mole leva 1 minuto para costura, cada capa dura leva 2 minutos e cada luxo leva 3 minutos. O total de minutos disponíveis para costura por dia é 2x + 4y + 5z = 660 horas, que são minutos.
Para a cola:
Explicação: Cada capa mole leva 2 minutos para cola, cada capa dura leva 4 minutos e cada luxo leva 5 minutos. O total de minutos disponíveis para cola por dia é horas, que são minutos.

Passo 4

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
1x + 2y + 3z = 360 2x + 4y + 5z = 660
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 5

Podemos resolver o sistema utilizando o método de substituição ou eliminação. Vamos usar o método de eliminação.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de 2x + 4y + 6z = 720 2x + 4y + 5z = 660 :
(2x + 4y + 6z) - (2x + 4y + 5z) = 720 - 660
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira:
z = 60
Simplificando:
x + 2y + 3(60) = 360
Agora que encontramos o valor de x + 2y + 180 = 360 x + 2y = 180 , podemos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar x = 180 - 2y e 2(180 - 2y) + 4y + 5(60) = 660 . Vamos usar a primeira equação:
360 - 4y + 4y + 300 = 660 660 = 660
Simplificando:
x = 180 - 2(0) = 180 z = 60
Agora, vamos expressar em termos de :
Substituímos na segunda equação original:
Simplificando:
Isso significa que a equação é verdadeira para qualquer valor de . Portanto, precisamos de mais informações ou restrições para determinar valores únicos para e . Como o problema pede para utilizar plenamente os locais de trabalho, podemos assumir que queremos maximizar a produção.
Para simplificar, podemos escolher um valor para que seja razoável. Por exemplo, se :

Resposta

A editora deve produzir 180 livros com capa mole, 0 livros com capa dura e 60 livros com encadernação de luxo por dia para utilizar plenamente os locais de costura e cola.

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