Mostre que os pontos A=(3,8,0), B=(-11,3,0), C=(-8,-2,0) são vértices de um triângulo isósceles.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que os pontos , e são vértices de um triângulo isósceles. Para isso, vamos usar a geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um triângulo é isósceles quando pelo menos dois lados têm o mesmo comprimento. Então, vamos calcular as distâncias dos lados , e para verificar se dois deles são iguais.

Passo 3

Vamos calcular a distância entre os pontos AB = raiz(xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 e AB = raiz(-11 - 3)^2 + (3 - 8)^2 = raiz(-14)^2 + (-5)^2 = raiz196 + 25 = raiz221 usando a fórmula da distância:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância entre os pontos BC = raiz(xC - xB)^2 + (yC - yB)^2 e BC = raiz(-8 - (-11))^2 + (-2 - 3)^2 = raiz(3)^2 + (-5)^2 = raiz9 + 25 = raiz34 :
Substituindo os valores:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a distância entre os pontos AC = raiz(xC - xA)^2 + (yC - yA)^2 e AC = raiz(-8 - 3)^2 + (-2 - 8)^2 = raiz(-11)^2 + (-10)^2 = raiz121 + 100 = raiz221 :
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora que temos as distâncias:
AB = raiz221, BC = raiz34, AC = raiz221
Observamos que , ou seja, dois lados do triângulo têm o mesmo comprimento.

Resposta

Portanto, os pontos , e formam um triângulo isósceles porque os lados e são iguais.

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