Determine: (e) Se
, calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular o valor esperado de
e a variância de
, dado que
. Aqui, estamos lidando com propriedades de valores esperados e variâncias em funções lineares de uma variável aleatória. Para resolver isso, vamos usar as regras que nos dizem como o valor esperado e a variância se comportam quando a variável é multiplicada por uma constante ou tem uma constante adicionada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
.
Sabemos que para qualquer constante
e variável aleatória
,
Isso significa que o valor esperado de uma constante multiplicada por
é igual à constante multiplicada pelo valor esperado de
.
Então, aplicando isso ao nosso caso:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
. Sabemos que
. O valor esperado é linear, ou seja:
Como
é apenas
(já que é uma constante), temos:
Sem mais informações sobre
, podemos deixar a expressão em termos de
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
.
A variância de uma constante multiplicada por uma variável aleatória
é dada por:
Portanto:
Passo 5
Precisamos encontrar
. Sabemos que
. A variância de
para uma transformação linear é:
Como a variância não muda com adição de constante, e multiplicação por uma constante envolve o quadrado dessa constante:
Passo 6
Substituindo
na expressão anterior:
Resposta
Portanto,
e