Determine: (e) Se Y=-3 W+2, calcule E(3 Y) e Var(2 Y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular o valor esperado de e a variância de , dado que . Aqui, estamos lidando com propriedades de valores esperados e variâncias em funções lineares de uma variável aleatória. Para resolver isso, vamos usar as regras que nos dizem como o valor esperado e a variância se comportam quando a variável é multiplicada por uma constante ou tem uma constante adicionada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular E(aY) = aE(Y) .
Sabemos que para qualquer constante E(3Y) = 3E(Y) e variável aleatória ,
Isso significa que o valor esperado de uma constante multiplicada por é igual à constante multiplicada pelo valor esperado de .
Então, aplicando isso ao nosso caso:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar E(Y) = E(-3W + 2) = -3E(W) + E(2) . Sabemos que E(Y) = -3E(W) + 2 . O valor esperado é linear, ou seja:
Como é apenas (já que é uma constante), temos:
Sem mais informações sobre , podemos deixar a expressão em termos de .

Passo 4

Agora, vamos calcular Var(aY) = a^2 Var(Y) .
A variância de uma constante multiplicada por uma variável aleatória Var(2Y) = 2^2 Var(Y) = 4Var(Y) é dada por:
Portanto:

Passo 5

Precisamos encontrar Var(Y) = Var(-3W + 2) . Sabemos que Var(Y) = (-3)^2 Var(W) = 9Var(W) . A variância de para uma transformação linear é:
Como a variância não muda com adição de constante, e multiplicação por uma constante envolve o quadrado dessa constante:

Passo 6

Substituindo Var(2Y) = 4 times 9Var(W) = 36Var(W) na expressão anterior:

Resposta

Portanto,
E(3Y) = 3E(Y) = 3(-3E(W) + 2) = -9E(W) + 6
e
Var(2Y) = 36,Var(W)

Exercícios relacionados