Nessas condições, pede-se: (e) Se W=-2 X-3, determine E(W) e Var(W).

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória definida por . Precisamos determinar a esperança matemática e a variância . Para isso, vamos utilizar propriedades básicas de esperança e variância relacionadas a transformações lineares de variáveis aleatórias.

Passo 2

Vamos começar encontrando a esperança matemática E(aX + b) = a,E(X) + b . Sabemos que, para quaisquer constantes e , a esperança de uma transformação linear é dada por:
Neste caso, e .

Passo 3

Aplicando essa propriedade à nossa transformação, temos:
E(W) = E(-2X - 3) = -2,E(X) - 3
Portanto, a esperança matemática de depende da esperança de .

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância Var(aX + b) = a^2,Var(X) . Para transformações lineares, a variância é dada por:
Observe que o termo constante não afeta a variância.

Passo 5

Aplicando essa propriedade à nossa transformação, temos:
Var(W) = Var(-2X - 3) = (-2)^2,Var(X) = 4,Var(X)
Portanto, a variância de é quatro vezes a variância de .

Resposta

A esperança matemática de é e a variância é .

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