Nessas condições, pede-se: (e) Se
, determine
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória
definida por
. Precisamos determinar a esperança matemática
e a variância
. Para isso, vamos utilizar propriedades básicas de esperança e variância relacionadas a transformações lineares de variáveis aleatórias.
Passo 2
Vamos começar encontrando a esperança matemática
. Sabemos que, para quaisquer constantes
e
, a esperança de uma transformação linear é dada por:
Neste caso,
e
.
Passo 3
Aplicando essa propriedade à nossa transformação, temos:
Portanto, a esperança matemática de
depende da esperança de
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância
. Para transformações lineares, a variância é dada por:
Observe que o termo constante
não afeta a variância.
Passo 5
Aplicando essa propriedade à nossa transformação, temos:
Portanto, a variância de
é quatro vezes a variância de
.
Resposta
A esperança matemática de
é
e a variância é
.