Determine:
c) lim x pi / 4 cos x-sen xcos 2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar usar propriedades das funções trigonométricas e a Regra de L’Hôpital, que ajuda a calcular limites que resultam em formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir cos(pi4) - sen(pi4) = raiz22 - raiz22 = 0 diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite assim.
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
cos(2 times pi4) = cos(pi2) = 0
Então, ao substituir, temos , que é uma forma indeterminada.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) , podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se ou , então:
Então, vamos derivar o numerador e o denominador.

Passo 4

Derivando o numerador :
Derivando o denominador ddx (cos x - sen x) = -sen x - cos x :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
Vamos simplificar os sinais:

Passo 6

Substituímos sen(pi4) = raiz22, cos(pi4) = raiz22 nas expressões derivadas:
Então:
E:

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão:

Resposta

O limite é .

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